3. Сколько целых чисел содержит множество значений функции = 2 cos 3x + 10? 1. Какое наименьшее число входит в область

Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 3:
Мы имеем функцию \(y = 2\cos(3x) + 10\).
Чтобы найти количество целых чисел в множестве значений функции, нам нужно знать, сколько раз функция пересекает горизонтальную линию, проходящую через целые числа.
Для этого рассмотрим график функции. Функция \(2\cos(3x)\) имеет период \(2\pi/3\), что означает, что график повторяется каждые \(2\pi/3\) радиан.
Так как функция \(\cos\) колеблется между -1 и 1, то функция \(2\cos(3x)\) колеблется между -2 и 2.
Добавление постоянного члена 10 не изменяет периода функции, поэтому график также колеблется между 8 и 12.
Можем заметить, что каждый раз, когда график функции пересекает горизонтальную линию, проходящую через целые числа, соответствующее значение функции становится целым числом.
Так как график колеблется между 8 и 12, то множество значений функции - это интервал от 8 до 12 включительно.
Таким образом, множество значений функции содержит 5 целых чисел: 8, 9, 10, 11, 12.

Задача 1:
У нас есть функция \(y = 0.5\sin(x/3) - 2\).
Чтобы найти наименьшее число, входящее в область значений функции, нам нужно найти минимальное значение функции.
Минимальное значение функции \(\sin\) -1, которое достигается при \(-\pi/2\) и \(3\pi/2\).
Разделим каждое из этих значений на 3, чтобы учесть деление аргумента в функции \(\sin\) на 3.
Получим два значения: \(-\pi/6\) и \(\pi/2\).
Если мы вычтем 2 из каждого значения, получим \(-\pi/6 - 2\) и \(\pi/2 - 2\).
Выражение \(-\pi/6 - 2\) равно примерно -2.524 и \(\pi/2 - 2\) равно примерно -0.141.
Таким образом, наименьшее число, входящее в область значений функции, округленное до второго знака после запятой, составляет -2.52.

Задача 5:
Мы имеем функцию \(y = 12\cos(3x) + 5\sin(3x)\).
Здесь мы можем применить тот же подход, что и в задаче 3. Рассмотрим график функции и найдем количество пересечений с горизонтальными линиями, проходящими через целые числа. Опять же, график функции колеблется между -17 и 17, соответственно множество значений функции содержит 35 целых чисел.

Задача 6:
У нас дана функция \(y = 4\sqrt{15} - \sin(x)\).
Мы должны найти наибольшее значение функции на интервале \([13\pi/4; 7\pi/2]\).
На этом интервале функция \(\sin(x)\) колеблется между -1 и 1, поэтому отнимая максимальное значение -1 от постоянного члена \(4\sqrt{15}\), получаем наибольшее значение функции равное \(4\sqrt{15} + 1\).
Выражение \(4\sqrt{15} + 1\) равно примерно 20.928.
Таким образом, наибольшее значение функции на указанном интервале округленное до третьего знака после запятой равно 20.928.

Задача 7:
Мы имеем функцию \(y = 5\tan^2(x) + 2\).
Чтобы найти наименьшее число, входящее в область значений функции, нам нужно найти минимальное значение функции.
Функция \(\tan^2(x)\) принимает значения от 0 и бесконечности на интервалах \((2n - 1)\pi/2\) и \(n\pi\) соответственно, где \(n\) - целое число.
Также функция \(\tan^2(x)\) всегда положительна или нулевая.
Таким образом, наименьшее значение функции равно 2, достигается при \(x = n\pi\).
Наименьшее число в области значений функции равно 2.

Задача 8:
Мы должны найти целые значения \(a\), для которых уравнение \(\sin(3x - 4) + 5 = a\) имеет решение.
Рассмотрим уравнение \(\sin(3x - 4) + 5 = a\) и перепишем его в виде \(\sin(3x - 4) = a - 5\).
Значения амплитуды \(\sin\) находятся в диапазоне \([-1, 1]\).
Следовательно, чтобы уравнение \(\sin(3x - 4) = a - 5\) имело решение, необходимо, чтобы \(a - 5\) находилось в интервале \([-1, 1]\).
То есть, должно выполняться неравенство \(-1 \leq a - 5 \leq 1\).
Добавим 5 ко всему неравенству и получим \(4 \leq a \leq 6\).
Таким образом, целые значения \(a\), при которых уравнение имеет решение, это 4, 5 и 6. Сумма этих значений равна 15.

Надеюсь, данные ответы и решения помогут понять и выполнять задания по указанным темам. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!