Какова область определения выражения √(5-х-х-1/4)+√(2х-х/2-2)?

Область определения \(√(5-х-х-1/4)+√(2х-х/2-2)\) зависит от того, в каком диапазоне значения переменной \(x\) являются допустимыми. Чтобы найти этот диапазон, нам нужно решить неравенства, которые определяют область определения для каждого из подкоренных выражений.

Давайте начнем с первого подкоренного выражения \(5-х-х-1/4\). Чтобы определить, когда это выражение является неотрицательным (чтобы корень из него был определенным), мы можем решить неравенство:

\[5-х-х-1/4 \geq 0\]

Давайте упростим это неравенство, складывая коэффициенты перед \(x\):
\[5 - 2x - \frac{1}{4} \geq 0\]

Теперь уберем дробь, умножив обе части неравенства на 4:
\[20 - 8x - 1 \geq 0\]

Сгруппируем переменные:
\[-8x \geq -19\]

Теперь разделим на -8, помним, что при делении на отрицательное число изменяется направление неравенства:
\[x \leq \frac{19}{8}\]

Таким образом, первое подкоренное выражение определено, когда \(x\) находится в диапазоне \(x \leq \frac{19}{8}\).

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение \(2х-х/2-2\). Чтобы определить его область определения, мы решим неравенство:

\[2х-х/2-2 \geq 0\]

Давайте умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[4x - x - 4 \geq 0\]

Сгруппируем переменные:
\[3x - 4 \geq 0\]

Теперь добавим 4 к обеим сторонам неравенства:
\[3x \geq 4\]

И, наконец, разделим на 3:
\[x \geq \frac{4}{3}\]

Таким образом, второе подкоренное выражение определено, когда \(x\) принадлежит диапазону \(x \geq \frac{4}{3}\).

Теперь нам нужно определить общую область определения \(x\), учитывая оба подкоренных выражения. Мы видим, что первое выражение требует \(x \leq \frac{19}{8}\), а второе выражение требует \(x \geq \frac{4}{3}\). Чтобы найти общую область определения, нам нужно найти пересечение этих двух интервалов.

Итак, пересекая условия, мы получаем:

\[\frac{4}{3} \leq x \leq \frac{19}{8}\]

Это означает, что область определения данного выражения - это все значения \(x\), которые находятся в диапазоне от \(\frac{4}{3}\) до \(\frac{19}{8}\), включая границы.