1) Determine the values of x for which the expression x2 + 5x – 24 is greater than zero. 2) Find the solutions

Задача 1: Определите значения переменной x, при которых выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля.

Для решения этой задачи, мы будем искать значения переменной x, при которых выражение \(x^2 + 5x - 24\) принимает положительные значения. То есть нам нужно найти интервалы значений x, где это выражение больше нуля.

Шаг 1: Решение квадратного уравнения
На первом шаге, мы решим уравнение \(x^2 + 5x - 24 = 0\), чтобы найти точки пересечения графика выражения с осью x.

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) может быть переписано в виде \((x - p)(x - q) = 0\), где p и q - корни уравнения.

Чтобы найти корни уравнения \(x^2 + 5x - 24 = 0\), мы должны найти два числа, чья сумма равна 5, а произведение равно -24. Такими числами будут 3 и -8. Таким образом, мы можем факторизовать уравнение:

\((x + 3)(x - 8) = 0\)

Отсюда, получаем два корня уравнения: x = -3 и x = 8.

Шаг 2: Анализ интервалов значений
Теперь, используя найденные корни, мы можем проанализировать интервалы значений, при которых выражение \(x^2 + 5x - 24\) больше нуля.

Мы понимаем, что квадратное уравнение имеет форму параболы, которая направлена вверх (коэффициент при x^2 положительный), и у нас есть корни -3 и 8.

Таким образом, интервалы, в которых \(x^2 + 5x - 24 > 0\), могут быть определены следующим образом:

1) x < -3
2) -3 < x < 8
3) x > 8

Таким образом, решением задачи является множество всех значений x, попадающих в данный интервал: \(x < -3, -3 < x < 8, x > 8\).

Задача 2: Найдите решения неравенства \((x - 5)(x - 7)(x + 3) < 0\).

Чтобы решить это неравенство, мы будем искать значения переменной x, при которых выражение \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) принимает отрицательные значения. То есть нам нужно найти интервалы значений x, где произведение трех факторов отрицательно.

Шаг 1: Анализ факторов
Давайте рассмотрим каждый фактор отдельно и определим знаки этих факторов:

1) Фактор \((x - 5)\) меняет знак с положительного на отрицательный при x < 5.
2) Фактор \((x - 7)\) меняет знак с положительного на отрицательный при 5 < x < 7.
3) Фактор \((x + 3)\) меняет знак с отрицательного на положительный при x > -3.

Шаг 2: Анализ знаков
Теперь, используя анализ факторов, мы можем определить интервалы значений x, для которых данное выражение \((x - 5)(x - 7)(x + 3)\) будет отрицательным.

- Так как у нас фактор \((x - 5)\) меняет знак на отрицательный при x < 5, он должен быть отрицательным в этом интервале.
- Затем фактор \((x - 7)\) меняет знак на отрицательный при 5 < x < 7, поэтому он тоже должен быть отрицательным в этом интервале.
- Наконец, фактор \((x + 3)\) меняет знак на положительный при x > -3, но мы ищем интервалы, в которых произведение всех трех факторов будет отрицательным, поэтому этот фактор должен быть отрицательным.

На основании этих наблюдений, мы можем определить интервалы значений x, при которых \((x - 5)(x - 7)(x + 3) < 0\):

1) x < -3
2) 5 < x < 7

Таким образом, решение неравенства состоит из интервалов значений x: \(x < -3\) и \(5 < x < 7\).