1) Determine the values of x for which the expression x2 + 5x – 24 is greater than zero. 2) Find the solutions

Задача 1: Определите значения переменной x, при которых выражение $x^2+5x-24$ больше нуля.

Для решения этой задачи, мы будем искать значения переменной x, при которых выражение $x^2+5x-24$ принимает положительные значения. То есть нам нужно найти интервалы значений x, где это выражение больше нуля.

Шаг 1: Решение квадратного уравнения
На первом шаге, мы решим уравнение $x^2+5x-24=0$, чтобы найти точки пересечения графика выражения с осью x.

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ может быть переписано в виде $(x-p)(x-q)=0$, где p и q - корни уравнения.

Чтобы найти корни уравнения $x^2+5x-24=0$, мы должны найти два числа, чья сумма равна 5, а произведение равно -24. Такими числами будут 3 и -8. Таким образом, мы можем факторизовать уравнение:

$(x+3)(x-8)=0$

Отсюда, получаем два корня уравнения: x = -3 и x = 8.

Шаг 2: Анализ интервалов значений
Теперь, используя найденные корни, мы можем проанализировать интервалы значений, при которых выражение $x^2+5x-24$ больше нуля.

Мы понимаем, что квадратное уравнение имеет форму параболы, которая направлена вверх (коэффициент при x^2 положительный), и у нас есть корни -3 и 8.

Таким образом, интервалы, в которых $x^2+5x-24>0$, могут быть определены следующим образом:

1) x < -3
2) -3 < x < 8
3) x > 8

Таким образом, решением задачи является множество всех значений x, попадающих в данный интервал: $x<-3,-3<x<8,x>8$.

Задача 2: Найдите решения неравенства $(x-5)(x-7)(x+3)<0$.

Чтобы решить это неравенство, мы будем искать значения переменной x, при которых выражение $(x-5)(x-7)(x+3)$ принимает отрицательные значения. То есть нам нужно найти интервалы значений x, где произведение трех факторов отрицательно.

Шаг 1: Анализ факторов
Давайте рассмотрим каждый фактор отдельно и определим знаки этих факторов:

1) Фактор $(x-5)$ меняет знак с положительного на отрицательный при x < 5.
2) Фактор $(x-7)$ меняет знак с положительного на отрицательный при 5 < x < 7.
3) Фактор $(x+3)$ меняет знак с отрицательного на положительный при x > -3.

Шаг 2: Анализ знаков
Теперь, используя анализ факторов, мы можем определить интервалы значений x, для которых данное выражение $(x-5)(x-7)(x+3)$ будет отрицательным.

- Так как у нас фактор $(x-5)$ меняет знак на отрицательный при x < 5, он должен быть отрицательным в этом интервале.
- Затем фактор $(x-7)$ меняет знак на отрицательный при 5 < x < 7, поэтому он тоже должен быть отрицательным в этом интервале.
- Наконец, фактор $(x+3)$ меняет знак на положительный при x > -3, но мы ищем интервалы, в которых произведение всех трех факторов будет отрицательным, поэтому этот фактор должен быть отрицательным.

На основании этих наблюдений, мы можем определить интервалы значений x, при которых $(x-5)(x-7)(x+3)<0$:

1) x < -3
2) 5 < x < 7

Таким образом, решение неравенства состоит из интервалов значений x: $x<-3$ и $5<x<7$.