Какова область определения функции у=сtg2/3x? Какие периоды у данной функции? Найдите наименьший положительный период

Хорошо! Давайте решим данную задачу.

Чтобы определить область определения функции \(y = \tan^{\frac{2}{3}}x\), мы должны обратить внимание на значения аргумента, при которых функция определена. В данном случае, функция тангенс определена для всех значений \(x\), за исключением углов, где косинус равен нулю. Косинус равен нулю в точках, кратных \(\frac{\pi}{2}\), то есть \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) является целым числом. Однако, поскольку функция возводит \(\tan x\) в степень \(\frac{2}{3}\), нам необходимо учесть также значения, при которых \(\tan x\) возведенный в эту степень является действительным числом.

Тангенс может быть представлен как отношение синуса к косинусу: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Таким образом, \(\tan x\) будет определен, когда косинус не равен нулю. В нашем случае, у нас имеется степень \(\frac{2}{3}\), которая может принимать значения только для неотрицательных чисел. То есть, чтобы \(\tan^{\frac{2}{3}}x\) было определено, необходимо, чтобы и знаменатель \(\cos x\) был больше нуля.

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом \(2\pi\), мы можем записать область определения в виде неравенства: \(0 < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число, и \(\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n\) или \(\pi(2n + 1) < x < \pi(2n + 2)\) для нечётных значений \(n\) (т.е. \(n = 2k + 1\)).

Теперь давайте определим период функции. Функция тангенс имеет период \(\pi\), что означает, что \(\tan x = \tan(x + \pi)\). Однако, мы имеем степень \(\frac{2}{3}\). Для определения периода функции с возведением в степень, мы должны найти наименьшее положительное число \(P\), для которого \((\tan x)^{\frac{2}{3}}\) будет равно \((\tan(x + P))^{\frac{2}{3}}\). В данном случае, получается:

\[(\tan x)^{\frac{2}{3}} = (\tan(x + P))^{\frac{2}{3}}\]

Возводя обе части в степень \(\frac{3}{2}\), получаем:

\[\tan x = \tan(x + P)\]

Таким образом, период функции будет равен \(P\), где \(P\) - наименьшее положительное число, удовлетворяющее этому уравнению.

Поскольку тангенс имеет период \(\pi\), мы можем записать:

\[P = \pi n\]

где \(n\) - целое число.

Итак, в нашем случае, наименьший положительный период функции \(\tan^{\frac{2}{3}}x\) равен \(\pi\).

В заключение, область определения функции \(y=\tan^{\frac{2}{3}}x\) можно записать как: \(0 < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\) и \(\pi(2n + 1) < x < \pi(2n + 2)\) для нечётных значений \(n\) (т.е. \(n = 2k + 1\)), а наименьший положительный период равен \(\pi\).