Какова область допустимых значений и диапазон квадратичной функции f(x) = -x^2 + 6x

У нас есть квадратичная функция \(f(x) = -x^2 + 6x\).

Область допустимых значений функции определяется значениями \(x\), для которых функция будет иметь смысл. В данном случае, так как у нас есть квадратный член с переменной \(x\) и его коэффициент отрицательный, то функция \(f(x)\) будет определена для всех действительных чисел. Таким образом, область допустимых значений - все действительные числа.

Теперь рассмотрим диапазон значений функции. Для этого нам нужно найти максимальное или минимальное значение функции. Мы знаем, что квадратичная функция имеет параболическую форму и открывается вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный.

Чтобы найти вершину параболы, мы можем найти координаты ее экстремума. Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это середина между корнями параболы, а \(k\) - это значение функции в этой точке.

Для начала, найдем координаты вершины. Используем формулу \(h = \frac{-b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В данном случае \(a = -1\) и \(b = 6\), поэтому \(h = \frac{-6}{2(-1)} = 3\).

Теперь найдем значение функции в точке \(h\) для получения \(k\). Подставляем \(x = 3\) в исходную функцию: \(f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9\). Таким образом, координаты вершины параболы: \((3, 9)\).

Так как парабола открывается вниз, это означает, что значение функции \(f(x)\) будет наибольшим в точке вершины параболы и будет убывать при приближении значениям \(x\), находящимся слева или справа от вершины.

Таким образом, диапазон значений функции \(f(x)\) будет от \(-\infty\) до \(9\].

Надеюсь, эта информация поможет вам понять область допустимых значений и диапазон квадратичной функции \(f(x) = -x^2 + 6x\). Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!