Какова наименьшая длина волны, которую может принять приемник, если емкость в его колебательном контуре может

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать формулу, связывающую емкость, индуктивность и длину волны в колебательном контуре:

\[v = \frac{1}{{\sqrt{LC}}}\]

где \(v\) - скорость распространения электромагнитной волны, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - емкость колебательного контура.

Известными данными в задаче являются:
\(L = 60 \, \text{мкГн}\)
\(C_{\text{min}} = 200 \, \text{пФ}\)
\(C_{\text{max}} = 1800 \, \text{пФ}\)
\(v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}\)

Нам нужно найти наименьшую длину волны, которую может принять приемник, следовательно, это будет соответствовать наибольшей частоте колебаний.

Чтобы найти минимальную емкость, мы будем использовать значение \(C_{\text{min}}\) в формуле и решать ее по отношению к длине волны:

\[\frac{1}{{v_{\text{max}}}} = \sqrt{\frac{1}{{L C_{\text{min}}}}}\]

Где \(v_{\text{max}}\) - минимальная скорость распространения электромагнитной волны, соответствующая наибольшей частоте колебаний. Решив это уравнение относительно \(v_{\text{max}}\), мы получим:

\[v_{\text{max}} = \frac{1}{{\sqrt{L C_{\text{min}}}}}\]

Теперь, зная \(v_{\text{max}}\), мы можем найти длину волны:

\[\lambda_{\text{min}} = \frac{{v_{\text{max}}}}{{f_{\text{max}}}}\]

где \(f_{\text{max}}\) - наибольшая частота колебаний, соответствующая минимальной емкости \(C_{\text{min}}\). Чтобы найти \(f_{\text{max}}\), мы используем формулу:

\[f_{\text{max}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{L C_{\text{min}}}}}\]

Подставляя все значения, получаем:

\[f_{\text{max}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{L C_{\text{min}}}}} = \frac{1}{{2\pi\sqrt{60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12}}}}\]

\[v_{\text{max}} = \frac{1}{{\sqrt{L C_{\text{min}}}}} = \frac{1}{{\sqrt{60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12}}}}\]

\[\lambda_{\text{min}} = \frac{{v_{\text{max}}}}{{f_{\text{max}}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt{60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12}}}}}}{{\frac{1}{{2\pi\sqrt{60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12}}}}}}\]

Подсчитав значения, получаем:

\[f_{\text{max}} \approx 2,04 \, \text{МГц}\]
\[v_{\text{max}} \approx 98,4 \, \text{м/с}\]
\[\lambda_{\text{min}} \approx \frac{{98,4 \, \text{м/с}}}{{2,04 \, \text{МГц}}} \approx 0,048 \, \text{м} \quad \text{(или 48 мм)}\]

Таким образом, наименьшая длина волны, которую может принять приемник, составляет примерно 0,048 м (или 48 мм).