Какова мера плоского угла при вершине пирамиды, если апофема треугольной пирамиды равна длине стороны ее основания?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вспомнить некоторые определения и свойства многогранников.

Допустим, что у нас есть треугольная пирамида с основанием, обозначенным как треугольник ABC. Треугольник ABC имеет стороны AB, BC и CA, а его апофема (перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды к плоскости основания) равна длине стороны его основания, то есть \(AB = BC = CA\).

Мы должны найти меру плоского угла при вершине пирамиды. Для этого возьмем основание пирамиды и соединим его с вершиной пирамиды. Таким образом, образуется треугольник ABE, где E - это вершина пирамиды. Во-первых, заметим, что стороны треугольника ABE изменятся. Сторона AB остается неизменной, а стороны AE и BE становятся равными апофеме пирамиды, то есть AE = BE = AB.

Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник ABE. Из свойств равнобедренных треугольников, мы знаем, что основные углы этого треугольника \(x_1 = x_2\), а сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Теперь обратимся к образовавшейся пирамиде. Мерой плоского угла при вершине пирамиды будет являться угол \(x_2\) из равнобедренного треугольника ABE. Так как основные углы треугольника ABE равны \(x_1 = x_2\), то плоский угол при вершине пирамиды будет мерить \(2x_2\).

Таким образом, чтобы найти меру плоского угла при вершине пирамиды, нам нужно умножить меру угла \(x_2\) на 2: \(2x_2\).

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то \(2x_2 + x_1 = 180^\circ\). Но так как \(x_1 = x_2\), то мы можем заменить \(x_1\) на \(x_2\): \(2x_2 + x_2 = 180^\circ\).

Решим это уравнение: \(3x_2 = 180^\circ\). Делим обе части уравнения на 3: \(x_2 = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\).

Таким образом, мера плоского угла при вершине пирамиды равна 60 градусам.

Ответ: мера плоского угла при вершине пирамиды равна 60 градусам.