Каков радиус окружности, вписанной в данное равнобедренный треугольник, если высота, проведенная к основанию

Для решения данной задачи воспользуемся некоторыми свойствами равнобедренных треугольников и вписанных окружностей. Для начала, посмотрим на изображение, чтобы лучше представить себе ситуацию.

            /|\

           / | \

          /  |  \

 17.5см /   |h   \ 17.5см

        /    |    \

       /     |     \

      /     R|      \

     /_______|_______\

     6см    |     11см

     осн    осн

Обозначим высоту проведенную из вершины треугольника к основанию как \( h \), а радиус вписанной окружности как \( R \). Также обозначим длину основания и боковой стороны как \( a \) и \( b \) соответственно.

Из условия задачи известно, что высота равна 42 см. По свойствам равнобедренного треугольника, мы знаем, что высота \( h \) является биссектрисой угла между основанием и боковой стороной. Таким образом, мы можем разделить основание на две части, пропорциональные боковой стороне.

Теперь мы можем записать пропорцию:

\(\frac{a}{b} = \frac{6}{11}\)

Так как сумма этих двух частей равна длине основания \( a \), мы можем выразить одну из частей через другую:

\(a = \frac{6}{17} \cdot (a + b)\)

С другой стороны, мы знаем, что площадь равнобедренного треугольника можно выразить через высоту \( h \) и основание \( a \) следующим образом:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)

Площадь равнобедренного треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности \( R \) следующим образом:

\(S = \pi R^2\)

Используя эти два равенства, мы можем связать \( R \), \( a \) и \( h \):

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \pi R^2\)

Теперь мы можем уравнять два полученных выражения для площади:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \pi R^2\)

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{17} \cdot (a + b) \cdot h\)

Теперь, с помощью ранее полученной пропорции, подставим выражение для \( a \):

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{17} \cdot (a + b) \cdot h = \pi R^2\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{3}{17} \cdot (a + b) \cdot h = \pi R^2\)

\(\frac{3}{17} \cdot (6 + 11) \cdot 42 = \pi R^2\)

Теперь можем решить это уравнение относительно \( R \):

\(R^2 = \frac{\frac{3}{17} \cdot (6 + 11) \cdot 42}{\pi}\)

\(R^2 \approx 70.436\)

Отсюда можем найти радиус вписанной окружности \( R \):

\(R \approx \sqrt{70.436} \approx 8.39\) см

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, составляет примерно 8.39 см.