Какова мера острого угла ABC, если прямая OS касается окружности в точке В, и хорда AB делит окружность на две дуги

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые свойства окружностей и углов.

По условию, прямая OS касается окружности в точке B, а хорда AB делит окружность на две дуги в соотношении 4:1. Рассмотрим данную ситуацию более подробно.

Поскольку OS касается окружности в точке B, то теорема о касательной и хорде гласит, что угол между касательной и хордой равен половине интерцептированного ими дуги:

\(\angle BOA = \frac{1}{2}\cdot \angle BAC.\)

Также известно, что хорда AB делит окружность на две дуги в соотношении 4:1. Пусть большая дуга, образованная хордой AB, равна \(4x\), а меньшая дуга равна \(x\).

В данной ситуации нам нужно найти меру угла ABC, то есть \(\angle BAC\).

Чтобы найти этот угол, воспользуемся свойством связанных углов, которое гласит, что угол между касательной и хордой, опирающейся на данную точку касания, равен углу, образованному этой хордой с дугой.

Таким образом, имеем:

\(\angle BAC = 2\cdot \angle BOA = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \angle BAC = \angle BOC.\)

Мы можем заметить, что угол BOC соответствует меньшей дуге x, а угол ABC - большей дуге 4x.

Теперь, используя информацию о соотношении дуг, можем записать:

\(\angle BOC = x.\)

Также, поскольку меньшая дуга равна x, а большая - 4x, можно записать:

\(\angle BAC = 4x.\)

Итак, мы получили, что угол ABC равен 4x.

Теперь мы можем найти меру угла ABC, зная соотношение дуг:

\(4x + x = 5x.\)

Так как меньшая дуга x делит окружность на отношение 1:4, получаем:

\(x = \frac{360^{\circ}}{1 + 4} = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}.\)

Итак, мера угла ABC равна:

\(5x = 5 \times 72^{\circ} = 360^{\circ}.\)

Таким образом, острый угол ABC в данной задаче составляет 360 градусов.