Каковы площади закрашенных фигур на рисунке, если треугольник имеет площадь 1 и каждая его сторона делится на равные

На рисунке дан треугольник и нам нужно найти площади закрашенных фигур. Для начала, предлагаю разобраться с треугольником. Поскольку каждая сторона треугольника делится на равные части, отмеченные точками, то мы можем представить треугольник как набор равнобедренных треугольников.

Возьмем одну из таких равнобедренных треугольников и обозначим его высоту через \(h\), а основание - через \(b\). Площадь равнобедренного треугольника может быть вычислена по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\).

У нас есть отсекающие отрезки в каждом равнобедренном треугольнике. Обозначим их через \(x\) и найдем их длину. Для этого можно заметить, что сумма длин отрезков равна основанию равнобедренного треугольника \(b\). Так как основание треугольника делится на отрезки на \(n\) равных частей, то длина каждого отрезка равна \(\frac{b}{n}\).

Теперь мы можем найти высоту равнобедренного треугольника. Для этого можем воспользоваться теоремой Пифагора, зная длину отрезка и половину основания равнобедренного треугольника:
\[h = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - x^2}\]

Таким образом, площадь каждого равнобедренного треугольника будет равна:
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{n} \cdot \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - x^2}\]

Теперь нам осталось найти общую площадь закрашенной фигуры. Суммируем площади всех равнобедренных треугольников:
\[S_{\text{общая}} = n \cdot S_{\text{треугольник}}\]

В данном случае площадь каждого равнобедренного треугольника равна 1, поэтому:
\[S_{\text{треугольник}} = 1 \cdot \frac{1}{n} \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2n}\right)^2}\]

Подставим это значение в общую формулу и получим:
\[S_{\text{общая}} = n \cdot \left(\frac{1}{n} \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2n}\right)^2}\right)\]

Упростим выражение:
\[S_{\text{общая}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2n}\right)^2}\]

Таким образом, площадь закрашенной фигуры будет равна \(\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2n}\right)^2}\).