Какова масса участка стержня между x1=1 и x2=2, если его линейная плотность

Question

Алгебра: Какова масса участка стержня между x1=1 и x2=2, если его линейная плотность описывается уравнением p(x)=4x^2+5x+2?

Сверкающий_Пегас · Accepted Answer

Чтобы вычислить массу участка стержня между

x_{1} = 1

и

x_{2} = 2

, мы будем использовать интеграл. Для начала, нам нужно найти массу каждого бесконечно малого элемента стержня, а затем сложить все эти элементы вместе.

Для вычисления массы бесконечно малого элемента стержня, мы будем использовать следующую формулу:

d m = p (x) \cdot d x

где

p (x)

- это линейная плотность стержня, описываемая уравнением

p (x) = 4 x^{2} + 5 x + 2

, а

d x

- это бесконечно малый интервал между

x

и

x + d x

.

Теперь мы можем записать уравнение для массы элемента стержня:

d m = (4 x^{2} + 5 x + 2) \cdot d x

Чтобы вычислить общую массу участка между

x_{1}

и

x_{2}

, мы должны проинтегрировать это уравнение:

m = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (4 x^{2} + 5 x + 2) \cdot d x

Раскроем скобки и произведем интегрирование:

m = \int_{x_{1}}^{x_{2}} 4 x^{2} + 5 x + 2 d x

m = {[\frac{4}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x]}_{x_{1}}^{x_{2}}

Теперь мы можем подставить значения

x_{1} = 1

и

x_{2} = 2

в выражение:

m = [\frac{4}{3} \cdot 2^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2] - [\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + \frac{5}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1]

Давайте вычислим это:

m = [\frac{32}{3} + \frac{20}{2} + 4] - [\frac{4}{3} + \frac{5}{2} + 2]

m = \frac{32}{3} + 10 + 4 - \frac{4}{3} - \frac{5}{2} - 2

m = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} + 10 - \frac{5}{2} + 4 - 2

m = \frac{28}{3} + \frac{20}{2} + 2

m = \frac{28}{3} + 10 + 2

m = \frac{28}{3} + \frac{30}{3} + \frac{6}{3}

m = \frac{64}{3}

Таким образом, масса участка стержня между

x_{1} = 1

и

x_{2} = 2

равна

\frac{64}{3}

.

Какова масса участка стержня между x1=1 и x2=2, если его линейная плотность описывается уравнением p(x)=4x^2+5x+2?

Сверкающий_Пегас

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!