Какова масса участка стержня между x1=1 и x2=2, если его линейная плотность описывается уравнением p(x)=4x^2+5x+2?

Чтобы вычислить массу участка стержня между \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\), мы будем использовать интеграл. Для начала, нам нужно найти массу каждого бесконечно малого элемента стержня, а затем сложить все эти элементы вместе.

Для вычисления массы бесконечно малого элемента стержня, мы будем использовать следующую формулу:

\[dm = p(x) \cdot dx\]

где \(p(x)\) - это линейная плотность стержня, описываемая уравнением \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\), а \(dx\) - это бесконечно малый интервал между \(x\) и \(x + dx\).

Теперь мы можем записать уравнение для массы элемента стержня:

\[dm = (4x^2 + 5x + 2) \cdot dx\]

Чтобы вычислить общую массу участка между \(x_1\) и \(x_2\), мы должны проинтегрировать это уравнение:

\[m = \int_{x_1}^{x_2} (4x^2 + 5x + 2) \cdot dx\]

Раскроем скобки и произведем интегрирование:

\[m = \int_{x_1}^{x_2} 4x^2 + 5x + 2 \, dx\]
\[m = \left[\frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x\right]_{x_1}^{x_2}\]

Теперь мы можем подставить значения \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\) в выражение:

\[m = \left[\frac{4}{3} \cdot 2^3 + \frac{5}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\right] - \left[\frac{4}{3} \cdot 1^3 + \frac{5}{2} \cdot 1^2 + 2 \cdot 1\right]\]

Давайте вычислим это:

\[m = \left[\frac{32}{3} + \frac{20}{2} + 4\right] - \left[\frac{4}{3} + \frac{5}{2} + 2\right]\]
\[m = \frac{32}{3} + 10 + 4 - \frac{4}{3} - \frac{5}{2} - 2\]
\[m = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} + 10 - \frac{5}{2} + 4 - 2\]
\[m = \frac{28}{3} + \frac{20}{2} + 2\]
\[m = \frac{28}{3} + 10 + 2\]
\[m = \frac{28}{3} + \frac{30}{3} + \frac{6}{3}\]
\[m = \frac{64}{3}\]

Таким образом, масса участка стержня между \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\) равна \(\frac{64}{3}\).