Какова масса тела, если проекция импульса через t=2 c равна px=8 кг•м/с, и проекция скорости тела изменяется согласно

Для решения данной задачи воспользуемся основным определением импульса тела: импульс равен произведению массы тела на его скорость.

Из условия задачи у нас задана проекция импульса через $t=2$, равная $p_x=8\text{кг}\cdot \text{м/с}$. Также дано уравнение, описывающее изменение проекции скорости тела: $v_x=2+t$.

Поскольку скорость является производной координаты, мы можем получить выражение для скорости, проинтегрировав это уравнение по времени.

$$\int v_{x}dt=\int (2+t)dt$$

$$\mathrm{\Delta }x=2t+\frac{t^2}{2}+C$$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями. У нас $v_x=0$ при $t=0$, что означает, что начальное положение тела равно нулю:

$$0=2(0)+\frac{0^2}{2}+C$$
$$C=0$$

Теперь мы можем выразить координату через время:

$$\mathrm{\Delta }x=2t+\frac{t^2}{2}$$

Для определения массы тела нам необходимо знать, как связана изменение проекции скорости с изменением импульса тела. По определению, изменение импульса равно интегралу от силы по времени:

$$\mathrm{\Delta }{p}_x=\int F_{x}dt=m\cdot \mathrm{\Delta }{v}_x$$

где $m$ - масса тела, а $\mathrm{\Delta }{v}_x$ - изменение проекции скорости.

Сопоставляя данное уравнение с уравнением для изменения координаты, получаем:

$$8=m\cdot (2t+\frac{t^2}{2})$$

$$\frac{8}{2}=m\cdot t+\frac{m\cdot t^2}{2}$$

$$4=2m\cdot t+m\cdot t^2$$

Данное уравнение является квадратным относительно $t^2$. Для его решения приведем его к стандартному виду:

$$m\cdot t^2+2m\cdot t-4=0$$

Решив данное квадратное уравнение, получим два значения для $t$:

$t_1=-4$ и $t_2=1$. Поскольку время не может быть отрицательным, отбросим значение $t_1$.

Теперь, используя найденное значение для $t$, найдем массу тела, подставив его в одно из уравнений выше:

$$m=\frac{8}{2(1)}$$
$$m=4\text{кг}$$

Таким образом, масса тела равна 4 кг.