Какова масса тела, если проекция импульса через t=2 c равна px=8 кг•м/с, и проекция скорости тела изменяется согласно

Для решения данной задачи воспользуемся основным определением импульса тела: импульс равен произведению массы тела на его скорость.

Из условия задачи у нас задана проекция импульса через \(t=2\), равная \(p_x=8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\). Также дано уравнение, описывающее изменение проекции скорости тела: \(v_x=2+t\).

Поскольку скорость является производной координаты, мы можем получить выражение для скорости, проинтегрировав это уравнение по времени.

\[\int v_x \, dt = \int (2+t) \, dt\]

\[\Delta x = 2t+\frac{t^2}{2}+C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями. У нас \(v_x=0\) при \(t=0\), что означает, что начальное положение тела равно нулю:

\[0 = 2(0)+\frac{0^2}{2}+C\]
\[C = 0\]

Теперь мы можем выразить координату через время:

\[\Delta x = 2t+\frac{t^2}{2}\]

Для определения массы тела нам необходимо знать, как связана изменение проекции скорости с изменением импульса тела. По определению, изменение импульса равно интегралу от силы по времени:

\[\Delta p_x = \int F_x \, dt = m \cdot \Delta v_x\]

где \(m\) - масса тела, а \(\Delta v_x\) - изменение проекции скорости.

Сопоставляя данное уравнение с уравнением для изменения координаты, получаем:

\[8 = m \cdot (2t+\frac{t^2}{2})\]

\[\frac{8}{2} = m \cdot t+\frac{m \cdot t^2}{2}\]

\[4 = 2m \cdot t+m \cdot t^2\]

Данное уравнение является квадратным относительно \(t^2\). Для его решения приведем его к стандартному виду:

\[m \cdot t^2+2m \cdot t-4 = 0\]

Решив данное квадратное уравнение, получим два значения для \(t\):

\(t_1 = -4\) и \(t_2 = 1\). Поскольку время не может быть отрицательным, отбросим значение \(t_1\).

Теперь, используя найденное значение для \(t\), найдем массу тела, подставив его в одно из уравнений выше:

\[m = \frac{8}{2(1)}\]
\[m = 4 \, \text{кг}\]

Таким образом, масса тела равна 4 кг.