Какова масса плоской пластины D, ограниченной графиками y=2x; y=0,5x; x=1? (Предполагается, что поверхностная плотность

Данная задача связана с вычислением массы плоской пластины D, ограниченной графиками функций y = 2x, y = 0,5x, и x = 1. Для решения этой задачи необходимо вычислить двойной интеграл от функции поверхностной плотности γ(x;y), ограниченный указанными гладкими линиями.

В данном случае, функция поверхностной плотности равна γ(x;y) = 1 для всех (x, y) в плоской пластине D. Мы можем использовать систему координат x и y для определения границы пластины D.

Границы интегрирования для x составляют отрезок [0,1], так как график x=1 ограничивает пластину D справа. Для каждого значения x в этом интервале, границы интегрирования для y составляют отрезки [0, 2x] и [0, 0.5x], поскольку соответствующие графики y=2x и y=0,5x ограничивают область пластины сверху и снизу соответственно.

Теперь мы можем записать двойной интеграл:

\[ m = \iint_D \gamma(x, y) dA \]

где dA представляет собой элемент площади в пластине D, а m обозначает массу пластины.

Заметим, что в нашем случае функция поверхностной плотности равна константе 1. Поэтому интеграл можно упростить:

\[ m = \iint_D dA \]

Переходя к переменным x и y, мы получаем:

\[ m = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} dy \, dx + \int_{0}^{1} \int_{0}^{0.5x} dy \, dx \]

Вычислим эти интегралы по очереди:

\[ m = \int_{0}^{1} \left[ y \right]_{0}^{2x} \, dx + \int_{0}^{1} \left[ y \right]_{0}^{0.5x} \, dx \]

\[ m = \int_{0}^{1} (2x-0) \, dx + \int_{0}^{1} (0.5x-0) \, dx \]

\[ m = \int_{0}^{1} 2x \, dx + \int_{0}^{1} 0.5x \, dx \]

\[ m = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} + \left[ 0.5x^2 \right]_{0}^{1} \]

\[ m = (1^2 - 0^2) + (0.5(1^2) - 0.5(0^2)) \]

\[ m = 1 + 0.5 = 1.5 \]

Таким образом, масса плоской пластины D равна 1.5 единицам массы. Ответ можно записать как число с двумя знаками после запятой: 1.50