Какова масса платформы, которая находится на краю и имеет диаметр 2 м, и вращается по инерции с частотой 0,13 Гц, если

Для решения этой задачи нам понадобятся понятия момента инерции и закона сохранения момента инерции.

Момент инерции - это физическая величина, которая характеризует инертность тела по отношению к его вращению. Он вычисляется как произведение массы тела на квадрат расстояния от оси вращения до точки на теле.

Закон сохранения момента инерции утверждает, что если на систему нет внешних моментов, то ее момент инерции остается постоянным.

1. Начнем с определения момента инерции платформы, когда человек находится на ее краю.

Момент инерции платформы вокруг ее центральной оси вращения (на которой перешел человек) можно выразить следующей формулой:

\[I_1 = \frac{1}{4} M R^2\]

где
\(I_1\) - момент инерции платформы до перемещения человека в центр (кг·м²),
\(M\) - масса платформы (кг),
\(R\) - радиус платформы (м).

2. После того, как человек перешел в центр платформы, закон сохранения момента инерции позволяет нам установить связь между моментами инерции до и после перемещения.

Момент инерции после перемещения человека в центр платформы будет равен сумме момента инерции платформы и момента инерции самого человека.

Момент инерции человека можно выразить следующей формулой:

\[I_2 = m r^2\]

где
\(I_2\) - момент инерции человека (кг·м²),
\(m\) - масса человека (кг),
\(r\) - расстояние от оси вращения до человека (м).

3. Мы знаем, что частота вращения платформы в начальном положении равна 0,13 Гц, а после перемещения человека в положение в центре стала равной 0,16 Гц.

Частота вращения платформы можно выразить следующей формулой:

\[f = \frac{1}{T}\]

где
\(f\) - частота вращения платформы (Гц),
\(T\) - период вращения платформы (с).

Поскольку период обратно пропорционален частоте, мы можем записать:

\[\frac{1}{f_1} = T_1\]
\[\frac{1}{f_2} = T_2\]

где
\(f_1\) и \(f_2\) - частоты вращения платформы до и после перемещения человека в центр соответственно,
\(T_1\) и \(T_2\) - периоды вращения платформы до и после перемещения.

4. Для решения задачи нам также понадобится выражение для периода вращения платформы, которое можно записать следующим образом:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

где
\(T\) - период вращения платформы (с),
\(\omega\) - угловая скорость платформы (рад/с).

Угловая скорость платформы можно записать как:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

5. Теперь мы можем решить задачу.

Известно, что радиус платформы \(R = 1 \, \text{м}\) и масса человека \(m = 70 \, \text{кг}\).

Выразим расстояние \(r\) от оси вращения до человека в зависимости от радиуса платформы \(R\):

\[r = \frac{R}{2}\]

Подставим значения в формулы:

Для начального положения, когда человек находился на краю платформы, у нас было:
\[I_1 = \frac{1}{4} M R^2\]
\[T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}\]

Для положения после перемещения человека в центре платформы, у нас есть:
\[I_2 = I_1 + I_\text{человека}\]
\[T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}\]

Отсюда мы можем найти момент инерции платформы \(M\):

\[M = \frac{4}{R^2}(I_2 - I_\text{человека})\]

Подставим значения массы человека, радиуса платформы и известные формулы момента инерции человека \(I_\text{человека}\):

\[M = \frac{4}{(2)^2}\left(\frac{1}{4}M(2)^2 - m \left(\frac{2}{2}\right)^2\right)\]

Упростим формулу:

\[M = 16(M - m)\]

Разделим обе части на \(16\) и выразим \(M\):

\[M = \frac{16m}{15}\]

Итак, масса платформы составляет \(\frac{16}{15}\) от массы человека, что равно:

\[M = \frac{16}{15} \times 70 \, \text{кг} = \frac{112}{3} \, \text{кг}\]

Итак, масса платформы, которая находится на краю и имеет диаметр 2 м, и вращается по инерции с частотой 0,13 Гц, составляет \(\frac{112}{3}\) кг.