Какова масса планеты (в единицах массы Земли), если искусственный спутник движется по очень низкой орбите с периодом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые законы космической механики. Один из самых важных законов в этом случае - это закон всемирного тяготения, который формулируется так:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- F - сила притяжения между двумя объектами
- G - гравитационная постоянная, которая равна приблизительно \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов
- r - расстояние между центрами масс двух объектов

Период обращения спутника по орбите (\(T\)) связан с его радиусом орбиты (\(r\)) и массой планеты (\(M\)) следующим образом:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{G \cdot M}}}\]

Мы знаем, что период обращения спутника составляет 1,5 часа, что равно 5400 секундам. Также нам дано, что радиус планеты вдвое больше радиуса Земли, поэтому мы можем записать:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{{(2r_{\text{земли}})^3}}{{G \cdot M}}}\]

Теперь мы можем решить этое уравнение относительно \(M\). Давайте это сделаем:

\[\sqrt{\frac{{(2r_{\text{земли}})^3}}{{G \cdot M}}} = \frac{T}{{2 \pi}}\]
\[\frac{{(2r_{\text{земли}})^3}}{{G \cdot M}} = \left(\frac{T}{{2 \pi}}\right)^2\]
\[M = \frac{{(2r_{\text{земли}})^3}}{{G \cdot \left(\frac{T}{{2 \pi}}\right)^2}}\]

Теперь подставим известные значения в формулу и рассчитаем массу планеты:

\[M = \frac{{(2 \cdot r_{\text{земли}})^3}}{{G \cdot \left(\frac{{5400}}{{2 \pi}}\right)^2}}\]

Вычислим это:

\[M = \frac{{8 \cdot r_{\text{земли}}^3}}{{G \cdot \left(\frac{{5400}}{{2 \pi}}\right)^2}}\]

\[M \approx 4.28 \cdot r_{\text{земли}}^3\]

Мы можем видеть, что масса планеты пропорциональна кубу ее радиуса. Таким образом, если радиус планеты вдвое больше радиуса Земли, то ее масса будет в 8 раз больше массы Земли.

Ответ: a. В 8 раз.