Какова масса груза на малом поршне, площадь которого составляет 40 квадратных метров, в гидравлическом прессе

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать принцип Паскаля о равномерном распределении давления в жидкости. Согласно этому принципу, изменение давления внесенное в одну точку жидкости, передается без изменений во все остальные точки этой жидкости.

Перейдем к решению задачи:

1. Найдем площадь большого поршня. Зная, что площадь малого поршня равна 40 квадратным метрам, мы можем использовать пропорцию:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{F_1}{F_2},\]

где \(S_1\) - площадь большого поршня, \(S_2\) - площадь малого поршня, \(F_1\) - сила, действующая на большой поршень и \(F_2\) - сила, действующая на малый поршень.

Подставляем известные значения:

\(\frac{S_1}{40} = \frac{F_1}{F_2}\).

2. Найдем выражение для силы \(F_1\), используя формулу:

\[F_1 = P_1 \cdot S_1,\]

где \(P_1\) - давление, действующее на большой поршень.

Заметим, что сила \(F_1\) является силой тяжести для груза на большом поршне:

\[F_1 = m \cdot g,\]

где \(m\) - масса груза, \(g\) - ускорение свободного падения (9.8 м/c²).

Подставляем известные значения:

\(m \cdot g = P_1 \cdot S_1\).

3. Найдем выражение для силы \(F_2\), используя формулу:

\[F_2 = P_2 \cdot S_2,\]

где \(P_2\) - давление, действующее на малый поршень. Согласно принципу Паскаля, давление в обоих поршнях одинаково:

\(P_1 = P_2\).

4. Зная, что разность высот между поршнями составляет 30 сантиметров, можно использовать формулу для давления в жидкости на глубине \(h\):

\[P = \rho \cdot g \cdot h,\]

где \(\rho\) - плотность жидкости (предполагаем плотность воды), \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - глубина.

Подставляем известные значения:

\(P_1 = P_2 = \rho \cdot g \cdot h\).

5. Таким образом, у нас получается система уравнений:

\[
\begin{cases}
m \cdot g = P_1 \cdot S_1 \\
P_1 = P_2 = \rho \cdot g \cdot h \\
\frac{S_1}{40} = \frac{F_1}{F_2}
\end{cases}
\]

6. Решим эту систему уравнений. Выразим массу груза \(m\) через известные значения:

\[m = \frac{P_1 \cdot S_1}{g}.\]

Подставим полученное выражение для массы груза:

\[m = \frac{\rho \cdot g \cdot h \cdot S_1}{g}.\]

7. Дано, что разность высот между поршнями составляет 30 сантиметров, что равно 0.3 метра. Подставим эту информацию в рассчитанное выражение:

\[m = \frac{\rho \cdot g \cdot 0.3 \cdot S_1}{g}.\]

8. Нам также дано, что площадь большого поршня составляет 90 квадратных сантиметров, что равно 0.009 квадратных метра. Подставим это значение в рассчитанный выше формулу:

\[m = \frac{\rho \cdot g \cdot 0.3 \cdot 0.009}{g}.\]

9. Ускорение свободного падения \(g\) сокращается, получаем:

\[m = 0.3 \cdot 0.009 \cdot \rho.\]

10. Для окончательного ответа, нужно знать значение плотности \(\rho\) воды. Обычно принимается значение при комнатной температуре, равное 1000 килограммов на кубический метр.

Подставим это значение и вычислим массу груза:

\[m = 0.3 \cdot 0.009 \cdot 1000 = 2.7 \, \text{кг}.\]

Таким образом, масса груза на малом поршне составляет 2.7 кг. Сделано!