Какова максимально возможная высота мраморной колонны на прочном основании, если допустимое давление на мрамор

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для давления:

\[P = \frac{{F}}{{A}}\]

где \(P\) - давление, \(F\) - сила, \(A\) - площадь.

Мы знаем, что допустимое давление на мрамор составляет 54 МПа, поэтому можем записать:

\[P_{\text{{доп}}} = 54 \, \text{{МПа}}\]

Также, для нахождения давления, мы можем использовать формулу:

\[P = \frac{{m \cdot g}}{{V}}\]

где \(m\) - масса, \(g\) - ускорение свободного падения, \(V\) - объем.

Мы знаем, что плотность мрамора равна 2,7 г/см, а плотность - это отношение массы к объему:

\[\rho = \frac{{m}}{{V}}\]

Мы можем переписать эту формулу, выразив массу:

\[m = \rho \cdot V\]

Теперь мы можем использовать полученное выражение для массы в формулу для давления:

\[P = \frac{{\rho \cdot V \cdot g}}{{V}}\]

Сокращая \(V\) на обоих сторонах, получаем:

\[P = \rho \cdot g\]

Теперь мы можем записать выражение для максимальной высоты мраморной колонны:

\[h = \frac{{P_{\text{{доп}}}}}{{\rho \cdot g}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[h = \frac{{54 \, \text{{МПа}}}}{{2,7 \, \text{{г/см}} \cdot 10 \, \text{{м/с}^2}}}\]

Переводим единицы измерения в нужные нам: 1 МПа = \(10^6\) Па, 1 г/см = 1000 кг/м\(^3\).

\[h = \frac{{54 \cdot 10^6 \, \text{{Па}}}}{{2,7 \cdot 10^3 \, \text{{кг/м}^3}}}\]

Сокращаем и вычисляем:

\[h \approx \frac{{20 \cdot 10^6}}{{3 \cdot 10^3}} \approx \frac{{2 \cdot 10^7}}{{3 \cdot 10^3}}\]

Упрощаем:

\[h \approx \frac{{2}}{{3}} \cdot 10^4 \approx \frac{{2}}{{3}} \cdot 10000 \approx \frac{{20000}}{{3}} \approx 6666,\overline{6}\]

Округляем ответ до целого значения:

\[h \approx 6667 \, \text{{м}}\]

Таким образом, максимально возможная высота мраморной колонны на прочном основании составляет примерно 6667 метров.