Какова максимальная сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой 5 грамм, если ее положение задано

Для решения данной задачи, нам необходимо найти максимальную силу, действующую на колеблющуюся материальную точку, а также полную энергию точки.

Данное уравнение x = 10cos(2t+ϕ) описывает гармонические колебания, где х - положение точки в данный момент времени t, а амплитуда колебаний равна 10 см. Параметр ϕ соответствует начальной фазе колебаний.

Максимальная сила, действующая на материальную точку, связана с ее положением в заданный момент времени и определяется по закону Гука, который гласит, что сила пропорциональна смещению точки относительно положения равновесия, а также обратно пропорциональна массе точки:
\[ F = -kx \]

Здесь F - сила, k - коэффициент упругости, а x - смещение точки от положения равновесия.

Для гармонических колебаний коэффициент упругости можно найти по формуле:
\[ k = mω^2 \]

где m - масса точки, а ω - угловая частота, определяемая как:
\[ ω = 2πf \]

где f - частота колебаний.

В данной задаче угловая частота равна 2, так как параметр в уравнении равен 2t+ϕ. Обратите внимание, что частота колебаний равна половине угловой частоты. Таким образом, \( f = \frac{ω}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Гц.

Теперь мы можем вычислить коэффициент упругости:
\[ k = mω^2 = 0.005 \cdot (2\pi \cdot 1)^2 = 0.005 \cdot (4\pi^2) = 0.02\pi^2 \] Н/м

Максимальная сила будет равна произведению коэффициента упругости на максимальное смещение точки относительно положения равновесия, то есть умножаем амплитуду на коэффициент упругости:
\[ F_{макс} = -k \cdot х_{макс} = -0.02\pi^2 \cdot 10 = -0.2\pi^2 \] Н

Теперь давайте найдем полную энергию точки. Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму ее кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия точки, движущейся в гармоническом колебании, определяется формулой:
\[ E_{кин} = \frac{1}{2}mv^2 \]

где m - масса точки, а v - скорость точки.

Скорость точки может быть найдена дифференцированием уравнения положения по времени:
\[ v = \frac{dx}{dt} = -20\sin(2t+ϕ) \]

Теперь мы можем выразить кинетическую энергию:
\[ E_{кин} = \frac{1}{2}m\left(-20\sin(2t+ϕ)\right)^2 = 200\left(\sin(2t+ϕ)\right)^2 \] Дж

Потенциальная энергия точки, движущейся в гармоническом колебании, определяется формулой:
\[ E_{пот} = \frac{1}{2}kx^2 \]

Теперь мы можем выразить потенциальную энергию:
\[ E_{пот} = \frac{1}{2}\cdot0.02\pi^2\cdot\left(10\cos(2t+ϕ)\right)^2 = 0.01\pi^2\left(\cos(2t+ϕ)\right)^2 \] Дж

Полная энергия точки определяется суммой ее кинетической и потенциальной энергий:
\[ E_{полн} = E_{кин} + E_{пот} = 200\left(\sin(2t+ϕ)\right)^2 + 0.01\pi^2\left(\cos(2t+ϕ)\right)^2 \] Дж

Таким образом, максимальная сила, действующая на колеблющуюся точку, составляет -0.2π² Н, а полная энергия точки равна \( 200\left(\sin(2t+ϕ)\right)^2 + 0.01\pi^2\left(\cos(2t+ϕ)\right)^2 \) Дж.