Какова ковариация случайных величин Y и X, где X выбирается случайным образом из множества целых чисел {1,2,3

Для решения данной задачи нам потребуется знать, что ковариация случайных величин Y и X вычисляется по формуле:

\[\text{cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \tag{1}\]

где E(X) обозначает математическое ожидание случайной величины X, а E(Y) - математическое ожидание случайной величины Y.

В данной задаче X выбирается случайным образом из множества целых чисел {1,2,3}, а Y выбирается наудачу из того же множества, при условии, что Y больше или равно X.

Для начала, вычислим математическое ожидание случайной величины X. Так как X принимает значения 1, 2 и 3 с равной вероятностью, то математическое ожидание можно вычислить по формуле:

\[E(X) = \frac{1+2+3}{3} = 2\]

Теперь посмотрим на случаи значений Y и X внутри ожидаемого значения E(X) = 2. Так как Y выбирается наудачу из множества {1,2,3} при условии, что Y больше или равно X, у нас есть несколько возможных случаев:

1. Если X = 1, то Y может быть только равно 2 или 3 (потому что Y должно быть больше или равно X).
2. Если X = 2, то Y может быть только равно 2 или 3.
3. Если X = 3, то Y может быть только равно 3.

Таким образом, возможные пары значений (X,Y) соответствующие условию имеют вид:

(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)

Теперь вычислим ковариацию случайных величин Y и X, используя формулу (1). Подставляя значения из пар (X, Y) в формулу, получаем:

\[\text{cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = \frac{1}{5}\left[(1-2)(2-2) + (1-2)(3-2) + (2-2)(2-2) + (2-2)(3-2) + (3-2)(3-2)\right] = \frac{1}{5}(0 + (-1) + 0 + 0 + 1) = \frac{0}{5} = 0\]

Таким образом, ковариация случайных величин Y и X равна нулю.

Итак, мы получили, что ковариация случайных величин Y и X при данных условиях равна нулю. Это означает, что между этими двумя случайными величинами нет линейной зависимости.