10. Сколько возможных комбинаций может составиться из бригады, включающей 12 газосварщиков и 7 электросварщиков

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принципы комбинаторики. Давайте разберем каждый пункт по очереди:

a. У нас есть 12 газосварщиков, и нам нужно выбрать 5 из них. Это можно сделать с помощью сочетаний. Количество сочетаний из 12 по 5 вычисляется следующим образом:
\[\binom{12}{5} = \frac{12!}{5!(12-5)!}\]

b. У нас есть 7 электросварщиков, и нам нужно выбрать 3 из них. Здесь также используем сочетания:
\[\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!}\]

c. В команде должны присутствовать Андрей (газосварщик) и Виталий (электросварщик). У нас остается 4 газосварщика и 2 электросварщика для выбора. Один из газосварщиков нужно выбрать вместо Андрея, поэтому у нас остается 3 газосварщика для выбора. Таким образом, количество сочетаний будет:
\[\binom{4}{3} \cdot \binom{2}{1} = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot \frac{2!}{1!(2-1)!}\]

d. Из 8 газосварщиков, которые заболели гриппом, мы должны выбрать одного для замены. У нас есть 4 газосварщика, оставшихся из пункта c, которых мы можем выбрать. Соответственно, количество выборов будет:
\[\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!}\]

Теперь мы можем объединить все пункты и найти общее количество возможных комбинаций. Для этого мы умножим результаты каждого пункта:
\[\text{Общее количество комбинаций} = \binom{12}{5} \cdot \binom{7}{3} \cdot \left( \binom{4}{3} \cdot \binom{2}{1} \right) \cdot \binom{4}{1}\]

Выполняя вычисления, получим окончательный ответ. Пожалуйста, проверьте свои вычисления и подтвердите результат.