Какова индуктивность контура, если его емкость составляет 8 мкФ, а его собственные колебания описываются уравнением

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулы, связанные с контурными колебаниями. Основная формула, которую мы будем использовать, это формула колебаний в контуре:

\[ i = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi) \]

где:
- \( i \) - мгновенное значение тока в контуре,
- \( I_m \) - максимальное значение тока,
- \( \omega \) - угловая частота ($ \omega = 2\pi f $),
- \( t \) - время,
- \( \phi \) - начальная фаза.

Мы знаем, что в данной задаче у нас ток описывается выражением \( i = 0.1 \cdot \cos(1000\sqrt{2}t) \). Мы видим, что амплитуда колебаний равна 0.1, а угловая частота равна \( \omega = 1000\sqrt{2} \).

С другой стороны, в контуре имеется конденсатор с емкостью 8 мкФ. Мы можем использовать формулу, связывающую ток и напряжение на конденсаторе:

\[ i = C \cdot \frac{dU}{dt} \]

где:
- \( C \) - емкость конденсатора,
- \( U \) - напряжение на конденсаторе.

Нам нужно преобразовать уравнение, описывающее исходный ток, чтобы оно имело вид \( i = C \cdot \frac{dU}{dt} \).

Для этого сначала возьмем производную от функции \( \cos(1000\sqrt{2}t) \):

\[ \frac{d}{dt}(\cos(1000\sqrt{2}t)) = -1000\sqrt{2} \cdot \sin(1000\sqrt{2}t) \]

Теперь, чтобы получить \( \frac{dU}{dt} \), мы умножим эту производную на амплитуду колебаний 0.1:

\[ \frac{dU}{dt} = -1000\sqrt{2} \cdot 0.1 \cdot \sin(1000\sqrt{2}t) \]

Таким образом, мы теперь имеем уравнение \( i = C \cdot \frac{dU}{dt} \) в следующем виде:

\[ 0.1 \cdot \cos(1000\sqrt{2}t) = 8 \cdot 10^{-6} \cdot (-1000\sqrt{2} \cdot 0.1 \cdot \sin(1000\sqrt{2}t)) \]

Мы можем упростить это уравнение, убрав одну общую величину 0.1:

\[ \cos(1000\sqrt{2}t) = -1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \cdot \sin(1000\sqrt{2}t) \]

Теперь мы можем использовать формулу тригонометрической тождества \( \sin(x) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - x)}{\sqrt{1+\tan^2(\frac{\pi}{2}-x)}} \):

\[ \cos(1000\sqrt{2}t) = -1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t)}{\sqrt{1+\tan^2(\frac{\pi}{2}-1000\sqrt{2}t)}} \]

Заметим, что \( \cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t) = \sin(1000\sqrt{2}t) \) и \( \tan(\frac{\pi}{2}-1000\sqrt{2}t) = \cot(1000\sqrt{2}t) = \frac{1}{\tan(1000\sqrt{2}t)} \):

\[ \cos(1000\sqrt{2}t) = -1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t)}{\sqrt{1+\frac{1}{\tan^2(1000\sqrt{2}t)}}} \]

Мы также знаем, что \( \cos(1000\sqrt{2}t) = \sin(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t) = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2(1000\sqrt{2}t)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2(1000\sqrt{2}t)}}} \):

\[ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2(1000\sqrt{2}t)}}} = -1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t)}{\sqrt{1+\frac{1}{\tan^2(1000\sqrt{2}t)}}} \]

Мы замечаем, что обе стороны равны, поэтому можем сравнивать только числители:

\[ 1 = -1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6} \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t) \]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[ \cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t) = \frac{1}{-1000\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 10^{-6}} \]

Таким образом, мы получаем, что \( \cos(\frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t) \) является постоянным:

\[ \frac{\pi}{2} - 1000\sqrt{2}t = 0 \]

Теперь мы можем найти значение \( t \):

\[ t = \frac{\pi}{2 \cdot 1000\sqrt{2}} \]

Чтобы найти индуктивность \( L \) контура, мы можем использовать следующую формулу:

\[ L = \frac{1}{\omega^2 C} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ L = \frac{1}{(1000\sqrt{2})^2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{2 \cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{16} \, Генри \]

Таким образом, индуктивность контура составляет \(\frac{1}{16}\) Генри.