Какова индукция магнитного поля, если сила тока в проводнике составляет 4 а, длина активной части проводника составляет

Для решения этой задачи нам понадобится использовать один из законов электромагнетизма, известный как закон Био-Савара-Лапласа. Согласно этому закону, магнитное поле \(B\) на расстоянии \(r\) от бесконечно малого элемента тока \(dL\) с интенсивностью \(I\), вычисляется по формуле:

\[
d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\, d\vec{L} \times \vec{r}}}{{r^3}}
\]

где:
\(d\vec{B}\) - вектор магнитной индукции от элемента тока,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\)),
\(I\) - интенсивность тока в проводнике,
\(d\vec{L}\) - вектор бесконечно малого элемента тока,
\(\vec{r}\) - вектор расстояния от элемента тока до точки, где измеряется магнитное поле.

Для нахождения индукции магнитного поля, действующей на всю длину проводника, мы должны проинтегрировать выражение для \(d\vec{B}\) по всей длине проводника.

Разобъем наш проводник на малые элементы тока \(\Delta L\) и интегрируем выражение. Так как линии индукции поля перпендикулярны току, мы можем предположить, что элементы тока направлены вдоль оси \(x\). Также выберем систему координат таким образом, чтобы точка, где измеряется магнитное поле, находилась на оси \(z\), и проводник простирается вдоль оси \(y\).

Расстояние от каждого элемента тока до измеряемой точки будет равно расстоянию \(r\), а векторы \(d\vec{L}\) и \(\vec{r}\) будут сонаправлены вдоль оси \(y\). Таким образом, их векторное произведение здесь будет равно нулю.

Длина активной части проводника это 0.2 м, и сила тока составляет 4 А, поэтому мы можем записать элемент тока в виде \(dL = I\, dx\), где \(dx\) - бесконечно малый элемент длины.

Тогда выражение для магнитной индукции от элемента тока \(d\vec{B}\) преобразуется к виду:

\[
d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\, dx}}{{r^2}} \hat{\imath}
\]

Интегрируя это выражение от \(x = 0\) до \(x = 0.2\), мы получим полное магнитное поле, действующее на проводник:

\[
\vec{B} = \int_{0}^{0.2} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\, dx}}{{r^2}} \hat{\imath}
\]

Так как все параметры в этой формуле постоянны, мы можем извлечь их за знак интеграла:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I}}{{r^2}} \int_{0}^{0.2} dx \hat{\imath}
\]

Интегрируя по \(x\), получаем:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I}}{{r^2}} (0.2 - 0) \hat{\imath}
\]

Так как вектор магнитной индукции будет направлен вдоль оси \(y\), его \(y\)-компонента будет равна нулю.

Таким образом, окончательный ответ: индукция магнитного поля, действующего на проводник, составляет \(\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I}}{{r^2}} \hat{\imath}\), где \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\), \(I = 4 \, \text{А}\), \(r\) - расстояние от проводника до точки, где измеряется поле. Для данной задачи \(r\) не указано, поэтому его значение нельзя определить точно.