Какова индукция магнитного поля B в центре диска, который равномерно заряжен тонким диском диэлектрика радиусом R

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать законы электромагнетизма и принцип суперпозиции.

При вращении заряженного диска создается магнитное поле B в его центре. Чтобы найти индукцию магнитного поля, мы можем использовать формулу, называемую формулой Био-Савара-Лапласа.

Формула Био-Савара-Лапласа для индукции магнитного поля B создаваемого элементом длины ds, через который проходит ток I, записывается следующим образом:

\[ \mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \times \mathbf{ds} \times \mathbf{r}}}{{r^3}} \]

где
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) Тл/А·м)
- I - ток, проходящий через элемент диска
- \(\mathbf{ds}\) - вектор элемента длины ds
- \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элемента диска до точки, где мы хотим найти магнитное поле
- r - расстояние от элемента диска до точки, где мы хотим найти магнитное поле

Для нашей задачи, мы можем представить диск как составную сумму бесконечного числа элементов длины ds. Так как диск равномерно заряжен, мы можем считать суммарный ток I равным заряду q, поделенному на время, необходимое для того, чтобы весь заряд пройдет через диск.

Так как диск вращается, все элементы диска будут иметь одинаковую угловую скорость ω. Мы можем использовать это для нахождения ds, рассмотрев круговой элемент вдоль окружности.

Формула для дуги окружности ds, связанной с угловой скоростью ω и радиусом R, выглядит следующим образом:

\[ ds = R \times d\theta \]

где d\theta - малый угол, на который поворачивается круговой элемент.

Теперь мы можем заменить ds в формуле Био-Савара-Лапласа, используя выражение для ds в терминах угловой скорости:

\[ \mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{q \times R \times d\theta \times \mathbf{r}}}{{r^3}} \]

Чтобы получить суммарное магнитное поле B от всех элементов диска, мы должны проинтегрировать данное выражение по всем углам, чтобы учесть вклад каждого элемента.

\[ \mathbf{B} = \int \limits_{{0}}^{{2\pi}} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{q \times R \times d\theta \times \mathbf{r}}}{{r^3}} \]

Теперь нам нужно рассмотреть радиус-вектор \(\mathbf{r}\) от элемента диска до центра диска. В данном случае, центр диска находится на одной оси с элементом диска, поэтому мы можем принять, что \(\mathbf{r} = R\), где R - радиус диска.

\[ \mathbf{B} = \int \limits_{{0}}^{{2\pi}} \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{q \times R \times d\theta \times R}}{{R^3}} = \frac{{\mu_0 \times q \times \omega \times R^2}}{{2}} \]

Теперь мы можем подставить значения, данного в задаче, в полученное выражение для магнитного поля:

\[ \mathbf{B} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \times 5,0 \times 10^{-9} \times 10 \times (0,5)^2}}{{2}} \]

Решив эту формулу, мы получим окончательный ответ. Пожалуйста, выполните вычисления и запишите здесь ответ. Если у вас возникнут вопросы или понадобится дополнительная помощь, пожалуйста, просто скажите.