Сколько дней пройдет, прежде чем мыло в бутылке закончится, если каждый день приходит одинаковое количество посетителей

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется разделить ее на несколько этапов и проследить за изменениями с течением времени.

Шаг 1: Определение исходных данных
В начале задачи мы имеем большую бутылку жидкого мыла, которая была полностью израсходована посетителями через неделю. Затем завхоз купил такую же новую бутылку и начал экономить, доливая воду каждый раз, когда уровень жидкости опускался до четверти. Кроме того, посетители начинают использовать в 4 раза больше жидкости при каждом разбавлении.

Шаг 2: Установка переменных
Давайте обозначим через \(D\) количество дней, прошедших с момента покупки новой бутылки. Также обозначим через \(L\) и \(W\) объемы жидкого мыла и воды соответственно в бутылке на \(D\)-й день.

Шаг 3: Анализ изменений объема мыла и воды
На первый день после покупки бутылки в ней был только жидкое мыло, поэтому \(L = 1\) и \(W = 0\) (так как вода еще не была добавлена).
Через неделю, когда мыло было полностью израсходовано, бутылка содержала только воду, поэтому \(L = 0\) и \(W = 1\).
На каждый последующий день, когда уровень жидкости опускается до четверти, завхоз добавляет воду до верхнего уровня, и мылом и водой можно оценивать соответственно в соотношении 1:4. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение для \(L\) и \(W\) на \(D\)-й день:

\[L = \frac{1}{5^D}\]
\[W = \frac{4}{5^D}\]

Шаг 4: Нахождение количества дней
Необходимо определить значение \(D\), при котором мыло полностью закончится. Из уравнения для \(L\) на \(D\)-й день получаем следующее:

\[\frac{1}{5^D} = 0\]
что означает, что \(L = 0\). Решая это уравнение, мы получаем:

\[5^D = 1\]
так как \(1/5 = 0.2\), обратная степень 0.2 равна 5:

\[D = \log_5(1) = 0\]

Таким образом, мыло в бутылке закончится через 0 дней после покупки новой бутылки.

Обоснование:
На первый день уровень мыла в бутылке равен 1 и посетители начинают использовать в 4 раза больше жидкости, из-за чего уровень уменьшается до четверти. Завхоз добавляет воду до верхнего уровня. На следующий день посетители снова используют в 4 раза больше жидкости, из-за чего уровень уровень уменьшается до четверти. Завхоз снова добавляет воду до верхнего уровня. И это продолжается каждый день, пока мыло полностью не закончится. Однако, так как мыло начинает заканчиваться на первый день, мыло окончательно заканчивается через 0 дней после покупки новой бутылки.