Какова длина высоты и радиуса основания цилиндра, если его диагональ осевого сечения равна 4 дм и угол между этой

Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, обозначим длину высоты цилиндра как \(h\) и радиус основания цилиндра как \(r\).

Известно, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 дм. Обозначим эту диагональ как \(d\).

Мы знаем, что диагонали правильных многоугольников делят их на равнобедренные треугольники. Таким образом, можно сказать, что между диагональю \(d\) и плоскостью основания образуется прямой треугольник, в котором один угол (\(45^\circ\)) известен, а два остальных угла равны.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому мы можем вычислить значение третьего угла:

\[
Угол = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
\]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с углом в \(45^\circ\). Одним из его катетов является радиус основания цилиндра \(r\), а гипотенуза - диагональ сечения \(d\) (равная 4 дм).

Мы можем использовать тригонометрию, а именно теорему синусов, чтобы выразить радиус \(r\) через диагональ \(d\) и угол между диагональю и плоскостью основания. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[
\frac{r}{\sin(\angle)} = \frac{d}{\sin(90^\circ)}
\]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), формулу можно упростить:

\[
r = d \cdot \sin(\angle) = 4 \cdot \sin(45^\circ)
\]

Значение синуса \(45^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому можно продолжить расчет:

\[
r = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ дм}
\]

Теперь мы можем рассчитать длину высоты цилиндра \(h\) по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике длина высоты является вторым катетом, радиус основания - первым катетом, а диагональ сечения - гипотенузой. Формула теоремы Пифагора выглядит так:

\[
h = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{(4 \text{ дм})^2 - (2\sqrt{2} \text{ дм})^2}
\]

Выполним расчет:

\[
h = \sqrt{16 \text{ дм}^2 - 8 \text{ дм}^2} = \sqrt{8 \text{ дм}^2} = 2\sqrt{2} \text{ дм}
\]

Таким образом, длина высоты цилиндра и радиус его основания равны \(2\sqrt{2}\) дм.

Ответ можно записать следующим образом:

Длина высоты цилиндра: \(h = 2\sqrt{2}\) дм.
Радиус основания цилиндра: \(r = 2\sqrt{2}\) дм.