Какова длина высоты, если в треугольнике авс ав = вс и медиана, проведенная к боковой стороне, делит высоту

Пусть высота треугольника обозначена как \( h \), а сторона \( AB \) - это основание, на которое опущена эта высота. Обозначим точку пересечения медианы (проведенной из вершины \( C \)) со стороной \( AB \) как точку \( M \). Также пусть длина более длинного отрезка от точки \( M \) до основания \( AB \) равна \( x \), а длина меньшего отрезка равна \( y \).

Мы знаем, что длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена. Так как медиана проведена от вершины \( C \) к стороне \( AB \), то:

\[ CM = \frac{1}{2}AB \]

Также, по условию, высота, проведенная к основанию \( AB \), делится медианой на две равные части. То есть:

\[ AM = \frac{1}{2}h \]

Заметим, что треугольник \( CMA \) является подобным треугольнику \( CBA \) соответственно по двум углам, так как медиана являет собой биссектрису угла \( CAB \) и проведена к основанию \( AB \). Поэтому отношение длин сторон этих треугольников будет одинаково:

\[ \frac{CM}{AB} = \frac{AM}{BC} \]

Подставим значения, известные нам:

\[ \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{\frac{1}{2}h}{BC} \]

Упростим:

\[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{2}h}{BC} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( h \). Умножим обе части уравнения на \( 2 \):

\[ 1 = \frac{h}{BC} \]

Теперь умножим обе части уравнения на \( BC \) для избавления от знаменателя:

\[ BC = h \]

Тем самым мы доказали, что длина высоты треугольника равна длине стороны, к которой эта высота проведена. То есть:

\[ h = AB \]