Какова длина высоты CD в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, ∠А равен α, а длина гипотенузы

Давайте решим эту задачу с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических функций.

В прямоугольном треугольнике ABC у нас есть гипотенуза AB и угол А. Пусть длина гипотенузы равна \(c\), а угол А равен \(\alpha\) (мы не знаем конкретное значение угла).

Мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае это будет выглядеть так:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Так как у нас прямоугольный треугольник, то один из катетов будет вертикальной высотой, обозначим ее как CD. Другой катет будет горизонтальной стороной, обозначим его как BD. Тогда у нас будет:

\[AB^2 = BD^2 + CD^2\]

Мы знаем, что CD - это наша искомая высота, поэтому перепишем уравнение с учетом этого:

\[AB^2 = BD^2 + CD^2\]
\[c^2 = BD^2 + CD^2\]

Теперь нам нужно выразить BD и CD через угол А и гипотенузу AB. Для этого воспользуемся тригонометрическими функциями.

Первым шагом найдем BD. Для этого мы будем использовать функцию косинуса. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[BD = AB \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь найдем CD. Для этого будем использовать функцию синуса. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[CD = AB \cdot \sin(\alpha)\]

Теперь подставим значения BD и CD в наше уравнение:

\[c^2 = (AB \cdot \cos(\alpha))^2 + (AB \cdot \sin(\alpha))^2\]

Мы можем сократить AB^2 с обеих сторон:

\[c^2 = AB^2 \cdot (\cos(\alpha))^2 + AB^2 \cdot (\sin(\alpha))^2\]

Используем тождество тригонометрии, где \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\):

\[c^2 = AB^2 \cdot (1)\]
\[c^2 = AB^2\]

Теперь извлечем квадратный корень с обеих сторон:

\[c = AB\]

Таким образом, длина высоты CD в прямоугольном треугольнике ABC равна длине гипотенузы AB.