Какова длина вектора сн, который является высотой треугольника авс, если известно, что вектор ав равен 3е1 - 4е2

Чтобы найти длину вектора \(\vec{СН}\), который является высотой треугольника \(\triangle АВС\), нам сначала нужно найти координаты точки \(H\), которая является пересечением высоты \(\vec{СН}\) с стороной \(\overrightarrow{АВ}\).

Пусть вектор \(\overrightarrow{АВ}\) задается как \(\overrightarrow{АВ} = 3\vec{e_1} - 4\vec{e_2}\). А вектор \(\overrightarrow{СВ}\) задается как \(\overrightarrow{СВ} = \vec{e_1} + 5\vec{e_2}\).

Мы знаем, что вектор \(\overrightarrow{СН}\) перпендикулярен вектору \(\overrightarrow{АВ}\). То есть, их скалярное произведение равно нулю:

\[\overrightarrow{СН} \cdot \overrightarrow{АВ} = 0\]

Мы можем записать вектор \(\overrightarrow{СН}\) как \(\overrightarrow{СН} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2}\), где \(x\) и \(y\) - координаты точки \(H\).

Подставим эти значения в скалярное произведение:

\[(x\vec{e_1} + y\vec{e_2}) \cdot (3\vec{e_1} - 4\vec{e_2}) = 0\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(3x - 4y = 0\)

Теперь мы должны найти координаты точки \(H\) с помощью вектора \(\overrightarrow{СВ}\). Мы знаем, что вектор \(\overrightarrow{СН}\) и вектор \(\overrightarrow{СВ}\) также перпендикулярны друг другу. Это значит, что их скалярное произведение равно нулю:

\(\overrightarrow{СН} \cdot \overrightarrow{СВ} = 0\)

Подставим значения векторов и координаты точки \(H\):

\((x\vec{e_1} + y\vec{e_2}) \cdot (\vec{e_1} + 5\vec{e_2}) = 0\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(x + 5y = 0\)

Таким образом, у нас получились два уравнения:

\(\begin{cases}3x - 4y = 0\\x + 5y = 0\end{cases}\)

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания, чтобы найти \(x\) и \(y\).

Умножим второе уравнение на 3:

\(3x + 15y = 0\)

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:

\(3x - 4y + 3x + 15y = 0\)

Упростим:

\(6x + 11y = 0\)

Выразим \(y\) через \(x\):

\(y = -\frac{6}{11}x\)

Теперь подставим значение \(y\) в первое уравнение:

\(3x - 4\left(-\frac{6}{11}x\right) = 0\)

Упростим:

\(3x + \frac{24}{11}x = 0\)

Перенесем все слагаемые влево:

\(3x + \frac{24}{11}x = 0\)

\(x\left(3 + \frac{24}{11}\right) = 0\)

\(x\left(\frac{33}{11}+\frac{24}{11}\right) = 0\)

\(x\left(\frac{57}{11}\right) = 0\)

\(x = 0\) или \(\frac{11}{57}\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = \frac{11}{57}\).

Подставим \(x = 0\) во второе уравнение и найдем \(y\):

\(0 + 5y = 0\)

\(y = 0\)

То есть, первая пара значений - \(x = 0\) и \(y = 0\).

Подставим \(x = \frac{11}{57}\) во второе уравнение:

\(\frac{11}{57} + 5y = 0\)

\(5y = -\frac{11}{57}\)

\(y = -\frac{11}{285}\)

То есть, вторая пара значений - \(x = \frac{11}{57}\) и \(y = -\frac{11}{285}\).

Теперь мы нашли две пары координат для точки \(H\): \((0,0)\) и \(\left(\frac{11}{57}, -\frac{11}{285}\right)\).

Применим формулу для нахождения длины вектора:

Длина вектора \(\vec{СН}\) определяется следующим образом:

\(\left|\vec{СН}\right| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Для первой пары координат \((0,0)\):

\(\left|\vec{СН}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\)

Для второй пары координат \(\left(\frac{11}{57}, -\frac{11}{285}\right)\):

\(\left|\vec{СН}\right| = \sqrt{\left(\frac{11}{57}\right)^2 + \left(-\frac{11}{285}\right)^2}\)

\(\left|\vec{СН}\right| = \sqrt{\frac{121}{3249} + \frac{121}{7995}}\)

\(\left|\vec{СН}\right| = \sqrt{\frac{15960}{12996945}}\)

\(\left|\vec{СН}\right| \approx 0.0336\)

Таким образом, длина вектора \(\vec{СН}\), которая является высотой треугольника \(\triangle АВС\), составляет примерно 0.0336.