Какова длина вектора сн, который является высотой треугольника авс, если известно, что вектор ав равен 3е1 - 4е2

Чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{СН}$, который является высотой треугольника $\mathrm{△}АВС$, нам сначала нужно найти координаты точки $H$, которая является пересечением высоты $\overrightarrow{СН}$ с стороной $\overrightarrow{АВ}$.

Пусть вектор $\overrightarrow{АВ}$ задается как $\overrightarrow{АВ}=3\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}$. А вектор $\overrightarrow{СВ}$ задается как $\overrightarrow{СВ}=\overrightarrow{e_1}+5\overrightarrow{e_2}$.

Мы знаем, что вектор $\overrightarrow{СН}$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{АВ}$. То есть, их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{СН}\cdot \overrightarrow{АВ}=0$$

Мы можем записать вектор $\overrightarrow{СН}$ как $\overrightarrow{СН}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, где $x$ и $y$ - координаты точки $H$.

Подставим эти значения в скалярное произведение:

$$(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2})\cdot (3\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2})=0$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x-4y=0$

Теперь мы должны найти координаты точки $H$ с помощью вектора $\overrightarrow{СВ}$. Мы знаем, что вектор $\overrightarrow{СН}$ и вектор $\overrightarrow{СВ}$ также перпендикулярны друг другу. Это значит, что их скалярное произведение равно нулю:

$\overrightarrow{СН}\cdot \overrightarrow{СВ}=0$

Подставим значения векторов и координаты точки $H$:

$(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2})\cdot (\overrightarrow{e_1}+5\overrightarrow{e_2})=0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x+5y=0$

Таким образом, у нас получились два уравнения:

$\{\begin{array}{l}3x-4y=0\\ x+5y=0\end{array}$

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания, чтобы найти $x$ и $y$.

Умножим второе уравнение на 3:

$3x+15y=0$

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:

$3x-4y+3x+15y=0$

Упростим:

$6x+11y=0$

Выразим $y$ через $x$:

$y=-\frac{6}{11}x$

Теперь подставим значение $y$ в первое уравнение:

$3x-4(-\frac{6}{11}x)=0$

Упростим:

$3x+\frac{24}{11}x=0$

Перенесем все слагаемые влево:

$3x+\frac{24}{11}x=0$

$x(3+\frac{24}{11})=0$

$x(\frac{33}{11}+\frac{24}{11})=0$

$x\left(\frac{57}{11}\right)=0$

$x=0$ или $\frac{11}{57}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $x$: $x=0$ и $x=\frac{11}{57}$.

Подставим $x=0$ во второе уравнение и найдем $y$:

$0+5y=0$

$y=0$

То есть, первая пара значений - $x=0$ и $y=0$.

Подставим $x=\frac{11}{57}$ во второе уравнение:

$\frac{11}{57}+5y=0$

$5y=-\frac{11}{57}$

$y=-\frac{11}{285}$

То есть, вторая пара значений - $x=\frac{11}{57}$ и $y=-\frac{11}{285}$.

Теперь мы нашли две пары координат для точки $H$: $(0,0)$ и $(\frac{11}{57},-\frac{11}{285})$.

Применим формулу для нахождения длины вектора:

Длина вектора $\overrightarrow{СН}$ определяется следующим образом:

$\left|\overrightarrow{СН}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Для первой пары координат $(0,0)$:

$\left|\overrightarrow{СН}\right|=\sqrt{0^2+0^2}=0$

Для второй пары координат $(\frac{11}{57},-\frac{11}{285})$:

$\left|\overrightarrow{СН}\right|=\sqrt{{\left(\frac{11}{57}\right)}^2+{(-\frac{11}{285})}^2}$

$\left|\overrightarrow{СН}\right|=\sqrt{\frac{121}{3249}+\frac{121}{7995}}$

$\left|\overrightarrow{СН}\right|=\sqrt{\frac{15960}{12996945}}$

$\left|\overrightarrow{СН}\right|\approx 0.0336$

Таким образом, длина вектора $\overrightarrow{СН}$, которая является высотой треугольника $\mathrm{△}АВС$, составляет примерно 0.0336.