Какова длина третьей стороны треугольника, если один из его углов составляет 120 °, а две прилежащие стороны имеют

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, причем угол между сторонами AB и AC равен 120 градусам, а длины сторон AB и AC составляют 3,5 см и \(x\) см соответственно.

Для решения этой задачи мы можем использовать закон косинусов, который гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина третьей стороны треугольника, \(a\) и \(b\) - длины двух прилежащих сторон, \(C\) - угол между этими сторонами.

В нашей задаче, длина стороны AB равна 3,5 см, длина стороны AC равна \(x\) см и угол между ними составляет 120 градусов. Мы будем искать длину стороны BC (третьей стороны треугольника).

Подставляем известные значения в формулу:

\[BC^2 = 3,5^2 + x^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot x \cdot \cos(120^\circ)\]

Мы знаем, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), поэтому формулу можно упростить:

\[BC^2 = 12,25 + x^2 + 3,5x\]

Теперь у нас есть уравнение, которое позволяет найти длину третьей стороны BC в зависимости от \(x\). Чтобы решить уравнение, можем продолжить упрощать его.

Когда мы знаем длину стороны треугольника, она не может быть отрицательной, поэтому мы ограничиваемся только неотрицательными значениями.

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[x^2 + 3,5x + 12,25 - BC^2 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12,25 - BC^2)\]

Для того чтобы уравнение имело решение, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть \(D \geq 0\). Решая это неравенство, мы получаем:

\[(3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12,25 - BC^2) \geq 0\]
\[12,25 - 4 \cdot (12,25 - BC^2) \geq 0\]
\[BC^2 \leq \frac{12,25}{4}\]
\[BC \leq \sqrt{\frac{12,25}{4}}\]
\[BC \leq \frac{3,5}{2}\]

Итак, третья сторона треугольника BC не может быть больше \(\frac{3,5}{2}\) см. Следовательно, значение \(x\) должно удовлетворять условию \(x \leq \frac{3,5}{2}\).