Какова длина стороны основания правильной семиугольной призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 280, а высота

Чтобы найти длину стороны основания правильной семиугольной призмы, нам понадобится использовать формулу для площади боковой поверхности призмы.

Формула выглядит следующим образом:

\[ S_{bp} = p \cdot h \]

где
\(S_{bp}\) - площадь боковой поверхности призмы
\(p\) - периметр основания призмы
\(h\) - высота призмы

У нас уже известно, что \(S_{bp}\) равно 280. После подстановки в формулу получаем:

\[ 280 = p \cdot h \]

Теперь, чтобы найти длину стороны основания \(a\) (так как основание семиугольной призмы представляет собой правильный семиугольник), нам нужно найти периметр \(p\).

Периметр правильного семиугольника можно найти по следующей формуле:

\[ p = 7 \cdot a \]

Подставляем полученное выражение для \(p\) в формулу, связывающую \(p\) и \(h\):

\[ 280 = 7 \cdot a \cdot h \]

Теперь нам нужно найти высоту призмы \(h\). Для этого обратимся к другой формуле, которая связывает высоту призмы с длиной стороны основания и радиусом описанной окружности:

\[ h = \sqrt{3} \cdot R \]

где
\(R\) - радиус описанной окружности правильного семиугольника.

Нам нужно найти выражение для радиуса \(R\). Радиус описанной окружности можно найти с помощью следующей формулы:

\[ R = \frac{a}{2 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{7}\right)}} \]

Теперь мы можем подставить выражение для \(h\) и для \(R\) в уравнение:

\[ 280 = 7 \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot \left(\frac{a}{2 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{7}\right)}}\right) \]

Далее решаем это уравнение и находим значение длины стороны основания \(a\).