Какова длина стороны BC треугольника ABC, если известно, что его площадь равна 20 см2, угол ∡A равен 30° и сторона

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания из геометрии и тригонометрии. Давайте начнем решение.

Известно, что площадь треугольника ABC равна 20 см². Для начала, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника по длинам его сторон и синусу угла между ними:

$$Площадь=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (\mathrm{\angle }A)$$

Мы знаем, что площадь равна 20 см², угол ∡A равен 30°, и сторона AC равна некоторому значению, которое нам еще нужно найти. Пусть длина стороны AC равна x (в сантиметрах).

Теперь подставим все известные значения в формулу и решим уравнение относительно x:

$$20=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot x\cdot \sin (30°)$$

Вычислим синус 30° (используя таблицу значений или калькулятор):

$$\sin (30°)=\frac{1}{2}$$

Подставим это значение в уравнение:

$$20=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot x\cdot \frac{1}{2}$$

Упростим уравнение:

$$20=\frac{1}{4}\cdot AB\cdot x$$

Перенесем все известные значения на одну сторону и неизвестное значение x на другую:

$$AB\cdot x=4\cdot 20$$

$$AB\cdot x=80$$

Теперь мы знаем, что длина стороны AB равна 80.

Для того, чтобы найти длину стороны BC, нам понадобится теорема синусов. В прямоугольном треугольнике ABC, угол ∡A равен 30°, а сторона AC равна x.

Теорема синусов утверждает, что отношения длины каждой из сторон треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех трех углов:

$$\frac{AB}{\sin (\mathrm{\angle }A)}=\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }B)}=\frac{AC}{\sin (\mathrm{\angle }C)}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{80}{\sin (30°)}=\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }B)}=\frac{x}{\sin (\mathrm{\angle }C)}$$

Синус 30° равен 1/2, поэтому:

$$\frac{80}{\frac{1}{2}}=\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }B)}$$

$80\cdot 2=BC\cdot \sin (\mathrm{\angle }B)$

$$BC\cdot \sin (\mathrm{\angle }B)=160$$

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, нам нужно найти значение синуса угла B. Если мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти значение третьего угла C:

$\mathrm{\angle }C=180°-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B$

$\mathrm{\angle }C=180°-30°-\mathrm{\angle }B$

$\mathrm{\angle }C=150°-\mathrm{\angle }B$

Но мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180°:

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180°$

$30°+\mathrm{\angle }B+(150°-\mathrm{\angle }B)=180°$

$30°+\mathrm{\angle }B+150°-\mathrm{\angle }B=180°$

$180°-180°+\mathrm{\angle }B-\mathrm{\angle }B=150°-30°$

$\mathrm{\angle }B=120°$

Теперь, подставим значение угла B в уравнение, которое мы получили ранее:

$$BC\cdot \sin (120°)=160$$

Теперь, найдем значение синуса 120° (синус 120° равен синусу 60° в нашем случае, потому что синус 120° отвечает за положительные значения):

$\sin (120°)=\sin (60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$$BC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=160$$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{3}}$, чтобы избавиться от дроби:

$$BC=\frac{160\cdot 2}{\sqrt{3}}$$

$$BC=\frac{320}{\sqrt{3}}$$

Чтобы упростить ответ, можем умножить и разделить на $\sqrt{3}$ на числитель и знаменатель, чтобы сократить корень:

$$BC=\frac{320}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$BC=\frac{320\sqrt{3}}{3}$$

Таким образом, длина стороны BC треугольника ABC равна $\frac{320\sqrt{3}}{3}$ сантиметрам.