Какова длина стороны BC треугольника ABC, если известно, что его площадь равна 20 см2, угол ∡A равен 30° и сторона

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания из геометрии и тригонометрии. Давайте начнем решение.

Известно, что площадь треугольника ABC равна 20 см². Для начала, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника по длинам его сторон и синусу угла между ними:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)\]

Мы знаем, что площадь равна 20 см², угол ∡A равен 30°, и сторона AC равна некоторому значению, которое нам еще нужно найти. Пусть длина стороны AC равна x (в сантиметрах).

Теперь подставим все известные значения в формулу и решим уравнение относительно x:

\[20 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot x \cdot \sin(30°)\]

Вычислим синус 30° (используя таблицу значений или калькулятор):

\[\sin(30°) = \frac{1}{2}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[20 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot x \cdot \frac{1}{2}\]

Упростим уравнение:

\[20 = \frac{1}{4} \cdot AB \cdot x\]

Перенесем все известные значения на одну сторону и неизвестное значение x на другую:

\[AB \cdot x = 4 \cdot 20\]

\[AB \cdot x = 80\]

Теперь мы знаем, что длина стороны AB равна 80.

Для того, чтобы найти длину стороны BC, нам понадобится теорема синусов. В прямоугольном треугольнике ABC, угол ∡A равен 30°, а сторона AC равна x.

Теорема синусов утверждает, что отношения длины каждой из сторон треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех трех углов:

\[\frac{AB}{\sin(\angle A)} = \frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{80}{\sin(30°)} = \frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{x}{\sin(\angle C)}\]

Синус 30° равен 1/2, поэтому:

\[\frac{80}{\frac{1}{2}} = \frac{BC}{\sin(\angle B)}\]

\(80 \cdot 2 = BC \cdot \sin(\angle B)\)

\[BC \cdot \sin(\angle B) = 160\]

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, нам нужно найти значение синуса угла B. Если мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти значение третьего угла C:

\(\angle C = 180° - \angle A - \angle B\)

\(\angle C = 180° - 30° - \angle B\)

\(\angle C = 150° - \angle B\)

Но мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180°:

\(\angle A + \angle B + \angle C = 180°\)

\(30° + \angle B + (150° - \angle B) = 180°\)

\(30° + \angle B + 150° - \angle B = 180°\)

\(180° - 180° + \angle B - \angle B = 150° - 30°\)

\(\angle B = 120°\)

Теперь, подставим значение угла B в уравнение, которое мы получили ранее:

\[BC \cdot \sin(120°) = 160\]

Теперь, найдем значение синуса 120° (синус 120° равен синусу 60° в нашем случае, потому что синус 120° отвечает за положительные значения):

\(\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим это значение в уравнение:

\[BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 160\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), чтобы избавиться от дроби:

\[BC = \frac{160 \cdot 2}{\sqrt{3}}\]

\[BC = \frac{320}{\sqrt{3}}\]

Чтобы упростить ответ, можем умножить и разделить на \(\sqrt{3}\) на числитель и знаменатель, чтобы сократить корень:

\[BC = \frac{320}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[BC = \frac{320\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, длина стороны BC треугольника ABC равна \(\frac{320\sqrt{3}}{3}\) сантиметрам.