Какова длина апофемы правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 7 см, а сторона основания –

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора и формулу для нахождения объема пирамиды.

По условию, у нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой известна высота и сторона основания. Пусть сторона основания равна \(a\) см.

Сначала мы должны найти длину боковой грани пирамиды, используя теорему Пифагора. Для этого мы соединяем вершину пирамиды с центром основания, получая треугольник, у которого одна сторона равна высоте \(h\), а другая сторона равна половине длины стороны основания. Третья сторона треугольника является искомой длиной боковой грани пирамиды.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:

\[
c^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

\[
c^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}
\]

\[
c^2 = \frac{4a^2 + a^2}{4}
\]

\[
c^2 = \frac{5a^2}{4}
\]

\[
c = \sqrt{\frac{5a^2}{4}}
\]

Теперь, чтобы найти длину апофемы, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды, которая связывает высоту пирамиды, длину апофемы и площадь основания. В качестве площади основания мы будем использовать площадь квадрата с длиной стороны \(a\), так как у нас правильная четырехугольная пирамида.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h
\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{осн}\) - площадь основания (площадь квадрата с длиной стороны \(a\)), \(h\) - высота пирамиды.

Следовательно, \(S_{осн}\) равна \(a^2\) и:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h
\]

Таким образом, выражая \(a\) через \(V\) и \(h\), получаем:

\[
a^2 = \frac{3V}{h}
\]

\[
a = \sqrt{\frac{3V}{h}}
\]

Теперь у нас есть выражение для нахождения длины стороны основания через объем \(V\) и высоту \(h\).

Теперь, чтобы найти длину апофемы, мы должны воспользоваться соотношением между длиной апофемы \(ap\) и длиной боковой грани \(c\) в правильной четырехугольной пирамиде:

\[
ap = \frac{c}{2}
\]

Таким образом, можно записать:

\[
ap = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{4}}
\]

\[
ap = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot \left(\sqrt{\frac{3V}{h}}\right)^2}{4}}
\]

\[
ap = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot \left(\frac{3V}{h}\right)}{4}}
\]

\[
ap = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{15V}{4h}}
\]

Итак, мы получили формулу для нахождения длины апофемы \(ap\) через объем \(V\) и высоту \(h\) правильной четырехугольной пирамиды.

Пожалуйста, используйте данную формулу, подставьте известные значения высоты \(h\) и найдите длину апофемы \(ap\).