Какова длина стороны AC прямоугольного треугольника ABC (где угол C равен 90 градусам), если AB равно 8 и ctgB равно

Для решения данной задачи нам понадобится применить теорему тригонометрии - теорему косинусов. Согласно этой теореме, для треугольника с известными сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\angle C\) между этими сторонами, квадрат длины третьей стороны \(c\) (в нашем случае это сторона AC) можно выразить по формуле:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\angle C)\]

В нашем случае, сторона AB равна 8 и ctgB равен 3/4. Мы знаем, что ctgB = 1/tanB, поэтому tanB = 4/3.

Чтобы решить задачу, сначала найдем sinB и cosB. Зная, что sinB = 1/\(\sqrt{1 + \text{tan}^2B}\), получаем:

\[sinB = 1/\sqrt{1 + (4/3)^2} = 1/\sqrt{1 + 16/9} = 1/\sqrt{25/9} = 3/5\]

Следовательно, cosB = \(\sqrt{1 - \text{sin}^2B}\) = \(\sqrt{1 - (3/5)^2}\) = \(\sqrt{1 - 9/25}\) = \(\sqrt{25/25 - 9/25}\) = \(\sqrt{16/25}\) = 4/5.

Теперь мы можем использовать полученные значения в формуле теоремы косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle C)\]

\[AC^2 = 8^2 + BC^2 - 2 \cdot 8 \cdot BC \cdot \cos(90°)\]

Угол C равен 90 градусам, поэтому \(\cos(90°)\) = 0. Подставим известные значения и продолжим вычисления:

\[AC^2 = 64 + BC^2 - 2 \cdot 8 \cdot BC \cdot 0\]

\[AC^2 = 64 + BC^2\]

Теперь воспользуемся вторым условием задачи: ctgB = 3/4. Мы знаем, что ctgB = 1/tanB, поэтому tanB = 4/3. Тангенс угла B можно выразить как отношение противолежащего катета BC к прилежащему катету AB:

\[tanB = BC/AB = BC/8\]

Отсюда можно найти значение BC:

\(BC = tanB \cdot AB = (4/3) \cdot 8 = 32/3\)

Теперь, заменив BC в формуле, получим:

\[AC^2 = 64 + (32/3)^2 = 64 + 1024/9 = 576/9 + 1024/9 = 1600/9\]

Используя квадратный корень, получаем:

\[AC = \sqrt{1600/9} = \frac{\sqrt{1600}}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}\]

Таким образом, длина стороны AC прямоугольного треугольника ABC равна 40/3.