Какова длина радиуса описанной окружности для треугольника АВС, где АВ равно корню из 2, и угол АСВ равен 45 градусам?

Чтобы найти длину радиуса описанной окружности для треугольника АВС, мы можем использовать свойства описанных треугольников. Описанная окружность треугольника АВС - это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Давайте разберемся, как найти радиус описанной окружности. У нас есть сторона АВ, равная \(\sqrt{2}\) и угол АСВ, равный 45 градусам.

1. Сначала найдем длину стороны СВ. Для этого мы можем использовать теорему синусов:

\[\frac{СВ}{\sin(45)} = \frac{АВ}{\sin(А)}}\]

Так как АВ равно \(\sqrt{2}\), угол А равен 45 градусам, и \(\sin(45)\) равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), мы получим:

\[\frac{СВ}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(45)}\]

Упростим выражение:

\[СВ \cdot \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

\[СВ \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2}\]

Деля обе стороны на \(\sqrt{2}\), мы получим:

\[СВ = 2\]

Таким образом, длина стороны СВ равна 2.

2. Затем найдем длину радиуса описанной окружности, обозначим его как Р. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[Р = \frac{СВ}{2 \cdot \sin(45)}\]

Подставляя значения, которые мы нашли, мы получим:

\[Р = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Упростим выражение:

\[Р = \frac{2}{1}\]

Таким образом, длина радиуса описанной окружности для треугольника АВС равна 1.

Обратите внимание, что в данной задаче мы использовали теорему синусов, чтобы найти длину стороны СВ, и затем использовали эту длину, чтобы найти радиус описанной окружности. Этот подход основан на геометрических свойствах описанных треугольников.