1. Покажите, что фигуры прямоугольник АВСД и параллелограмм ЕВСК в данной схеме одинакового размера и структуры

Задача 1: Для доказательства того, что прямоугольник АВСД и параллелограмм ЕВСК имеют одинаковый размер и структуру, мы должны проанализировать их соответствующие стороны и углы.

Прямоугольник АВСД представлен на схеме следующим образом:

        А _________ В

         |         |

         |         |

         |         |

        Д _________ C

АВ и СД являются параллельными сторонами, а также равными, потому что они являются противоположными сторонами прямоугольника. Кроме того, АВ и СД также равны сторонам ЕВ и СК, потому что они также являются противоположными сторонами параллелограмма.

Теперь посмотрим на углы. В прямоугольнике АВСД, угол А и угол В оба являются прямыми углами (равны 90 градусам), потому что прямоугольник имеет все углы прямые. Угол С и угол Д также являются прямыми углами.

В параллелограмме ЕВСК угол Е и угол К являются прямыми углами, потому что прямые углы параллелограмма имеют общую сторону. Угол В и угол С также являются прямыми углами.

Таким образом, мы видим, что прямоугольник АВСД и параллелограмм ЕВСК имеют одинаковые стороны и углы, что делает их одинаковыми по размеру и структуре.

Задача 2: Для нахождения высоты ВЕ в треугольнике АВС мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая выражается как половина произведения длины основания на высоту: \(S = \frac{1}{2} \times AC \times h\), где S - площадь треугольника, AC - длина основания, h - высота треугольника.

Мы знаем, что площадь треугольника составляет 40 см², а основание AC равно 8 см. Подставим эти значения в формулу и решим ее относительно h:

\[40 = \frac{1}{2} \times 8 \times h\]
\[80 = 8h\]
\[h = \frac{80}{8}\]
\[h = 10\]

Таким образом, высота ВЕ треугольника АВС равна 10 см.

Задача 3: Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой для площади, которая выражается как половина произведения суммы оснований на высоту: \(S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h\), где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований, h - высота трапеции.

У нас есть следующие данные: одно основание равно 5 см, другое основание равно 15 см, боковая сторона равна 12 см и образует угол 300 градусов с одним из оснований.

Мы можем видеть, что у нас есть прямоугольный треугольник, образованный одним из оснований трапеции и боковой стороной. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему синусов: \(\frac{h}{12} = \sin(30^\circ)\), где h - высота треугольника.

Подставим данный угол в градусах в формулу синусов и решим ее относительно h:

\(\frac{h}{12} = \sin(30^\circ)\)
\(\frac{h}{12} = \frac{1}{2}\)
\(h = 6\)

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем найти площадь трапеции:

\[S = \frac{1}{2} \times (5 + 15) \times 6\]
\[S = \frac{1}{2} \times 20 \times 6\]
\[S = 60\]

Таким образом, площадь этой трапеции составляет 60 квадратных сантиметров.