Какова длина отрезка Pk, если угол Mpn равен 120 градусам и длина Mn известна?

Чтобы найти длину отрезка \( P_k \), нам нужно использовать связь между углом и длиной отрезка на окружности. Понимание этой связи поможет нам решить задачу.

Давайте взглянем на следующую картинку:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{cc}
\text{{P}}_1 & \text{{P}}_2 \\
\mid & \mid \\
\text{{M}} & \text{{M}} \\
| & | \\
\mid & \mid \\
\text{{N}} & \text{{N}} \\
| & | \\
\mid & \mid \\
\text{{P}} & \text{{P}} \\
\end{array} \\
\\
\text{{Рисунок 1: Окружность с точками }}\text{{P}}_1\text{{, P}}_2\text{{, M, N и P}}
\end{array}
\]

На рисунке мы видим окружность с центром в точке \( M \) и радиусом \( MN \). Нам дано, что угол \( \angle Mpn \) равен 120 градусам.

Согласно свойствам окружности, центральный угол, соответствующий данному углу на окружности, равен удвоенному углу \( \angle Mpn \). То есть, центральный угол \( \angle M\text{P}_k\text{N} \) равен \( 2 \times 120^\circ \), то есть 240 градусов.

Также мы знаем, что в центральном угле длина хорды, проходящей через этот угол, равна удвоенному произведению радиуса окружности на синус половины центрального угла.

Обозначим длину отрезка \( P_k \) как \( x \). Тогда длина хорды \( P_1P_2 \) равна \( 2x \), а радиус окружности \( MN \) равен \( r \). Заметим, что отрезки \( P_1P_2 \) и \( MN \) равны, так как они являются радиусами.

Теперь мы можем записать уравнение по длине хорды и радиусу:

\[
2x = 2r \sin\left(\frac{240^\circ}{2}\right)
\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[
x = r \sin(120^\circ)
\]

Так как нам дано значение длины \( MN \), мы можем использовать это значение для вычисления длины отрезка \( P_k \). Подставим значение \( r \) и рассчитаем \( x \).

Мы получаем окончательное уравнение:

\[
x = MN \cdot \sin(120^\circ)
\]

Теперь мы можем решить это уравнение, подставив значение длины \( MN \) и вычислив \( x \).