Какова площадь треугольника АВС, если в нем проведена высота СД из вершины прямого угла и известно, что длина катета

10 см?
Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади треугольника и свойств высоты.

Формула площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Свойство высоты треугольника:
Высота, проведенная к основанию треугольника, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, прилегающих к основанию. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: СЕD и ДВD.

По условию задачи, длина катета СЕ равна 6 см, а длина ДВ равна 10 см. Это означает, что DE является высотой треугольника АВС.

Так как наш треугольник является прямоугольным (угол А равен 90 градусов), основание АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС.

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника АВС, используя формулу площади треугольника и длину основания и высоты:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE\]

Так как AB это гипотенуза треугольника, то по теореме Пифагора, мы можем найти ее длину:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]

Зная, что АС и ВС равны длиной, то есть AC = BC, мы можем заменить их в формуле:

\[AB = \sqrt{AC^2 + AC^2} = \sqrt{2 \cdot AC^2}\]

Теперь подставим известные значения AC = 6 см и DE = 10 см в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot AC^2} \cdot DE\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 6^2} \cdot 10\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{72} \cdot 10\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8.485 \cdot 10\]

\[S = 42.425 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 42.425 квадратных сантиметра.