Какова длина отрезка касательной, проведенной в точку А (5;0), и ограниченного осями координат, на графике функции

Для нахождения длины отрезка касательной, проведенной в точку А и ограниченного осями координат, на графике функции \(y = \frac{30}{x} - \frac{6x}{5}\), нам потребуется использовать некоторые математические инструменты.

Для начала, давайте найдем производную этой функции. Вы можете представить производную как скорость изменения функции в каждой точке графика. Для функции \(y = \frac{30}{x} - \frac{6x}{5}\) производная будет равна:

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{30}{x^2} - \frac{6}{5}
\]

Теперь нам нужно найти наклон (тангенс угла) касательной в точке А. Для этого посмотрим, какое значение имеет производная в этой точке, подставив \(x = 5\) в уравнение производной:

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{30}{5^2} - \frac{6}{5}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{30}{25} - \frac{6}{5}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{5} - \frac{6}{5}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{12}{5}
\]

Таким образом, наклон касательной в точке А будет равен \(-\frac{12}{5}\).

Теперь, чтобы найти саму касательную, мы знаем, что касательная будет представлять собой прямую линию, проходящую через точку А и имеющую наклон \(-\frac{12}{5}\).

Используя формулу для уравнения прямой \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \(m\) - наклон прямой, \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки прямой, в данном случае примем \(x_1 = 5\) и \(y_1 = 0\), получаем:

\(y - 0 = -\frac{12}{5}(x - 5)\)

Упростим это уравнение:

\(y = -\frac{12}{5}(x - 5)\)

Теперь мы можем найти точки пересечения этой прямой с осями координат.

Для оси \(y\) (ось ординат), координата \(x\) будет равна 0:

\(y = -\frac{12}{5}(0 - 5)\)
\(y = -\frac{12}{5}(-5)\)
\(y = 12\)

Таким образом, мы получаем точку (0, 12) на оси \(y\).

Для оси \(x\) (ось абсцисс), координата \(y\) будет равна 0:

\(0 = -\frac{12}{5}(x - 5)\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\):

\(0 = -\frac{12}{5}x + \frac{12}{5} \cdot 5\)

Упростим это уравнение:

\(0 = -\frac{12}{5}x + 12\)

\(\frac{12}{5}x = 12\)

\(x = \frac{12 \cdot 5}{12}\)

\(x = 5\)

Таким образом, мы получаем точку (5, 0) на оси \(x\).

В итоге, касательная, проведенная в точку А (5, 0) и ограниченная осями координат, на графике функции \(y = \frac{30}{x} - \frac{6x}{5}\), будет иметь длину, равную расстоянию между точками (0, 12) и (5, 0) на графике. Чтобы найти это расстояние, можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике. Длина отрезка будет равна гипотенузе.

Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками \(\sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), можем вычислить длину отрезка:

\(d = \sqrt{{(5 - 0)^2 + (0 - 12)^2}}\)
\(d = \sqrt{{25 + 144}}\)
\(d = \sqrt{{169}}\)
\(d = 13\)

Таким образом, длина отрезка касательной, проведенной в точку А (5, 0), и ограниченного осями координат на графике функции \(y = \frac{30}{x} - \frac{6x}{5}\), равна 13.