Какова длина окружности, проходящей через точки треугольника, если радиус у вписанной в этот треугольник окружности

Для решения этой задачи нам потребуется знать основной факт о вписанных углах. Когда окружность вписана в треугольник, радиус этой окружности перпендикулярен к сторонам треугольника, а точка пересечения радиуса с каждой стороной является точкой касания окружности со стороной.

Сначала найдем длину сторон треугольника. Допустим, стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\), а радиус вписанной окружности равен \(r\).

Используя это знание, мы можем выразить длины сторон треугольника через радиус вписанной окружности. Например, сторона \(a\) равна сумме двух отрезков, проведенных из вершины треугольника до точки касания окружности со стороной \(a\). Аналогичным образом, сторона \(b\) равна сумме двух отрезков, проведенных из вершины треугольника до точки касания окружности со стороной \(b\), и сторона \(c\) равна сумме двух отрезков, проведенных из вершины треугольника до точки касания окружности со стороной \(c\).

Таким образом, мы получаем следующие формулы:

\[a = r + r\]
\[b = r + r\]
\[c = r + r\]

Перепишем эти формулы в более привычном виде:

\[a = 2r\]
\[b = 2r\]
\[c = 2r\]

Теперь мы можем найти длину окружности, проходящей через точки треугольника, используя формулу для длины окружности:

\[L = 2\pi r\]

Подставим значение радиуса \(2r\) вместо \(r\):

\[L = 2\pi \cdot 2r\]

Упростим выражение:

\[L = 4\pi r\]

Таким образом, длина окружности, проходящей через точки треугольника, равна \(4\pi r\), где \(r\) - радиус вписанной в треугольник окружности.