а) Какова длина перпендикуляра МК, опущенного из точки М на диагональ АС прямоугольника ABCD, если известно, что

Давайте решим задачу по порядку:

а) Мы знаем, что перпендикуляр МК опущен из точки М на диагональ АС прямоугольника ABCD. Для решения задачи, мы можем использовать свойство перпендикуляра, которое гласит, что проекция точки на прямую является кратчайшим расстоянием от точки до этой прямой.

Поскольку AM является высотой треугольника АМК и перпендикулярной диагонали АС, то перпендикуляр МК является проекцией точки М на диагональ АС.

Теперь, чтобы найти длину перпендикуляра МК, мы можем использовать подобие прямоугольников. Поскольку AMK и ADC подобны (у них соответствующие углы равны, так как они неравносторонние треугольники, и у них есть общий угол), мы можем записать пропорцию:

\(\frac{AM}{AD} = \frac{MK}{DC}\)

Заменяя известные значения, мы получаем:

\(\frac{10.2}{15} = \frac{MK}{DC}\)

Теперь нам нужно найти DC, чтобы решить уравнение. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольника ADC:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2\)

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(17^2 = 15^2 + DC^2\)

Вычисляя это уравнение, мы находим:

\(289 = 225 + DC^2\)

\(DC^2 = 289 - 225\)

\(DC^2 = 64\)

\(DC = \sqrt{64}\)

\(DC = 8\)

Теперь мы можем подставить найденное значение DC в нашу пропорцию и решить ее:

\(\frac{10.2}{15} = \frac{MK}{8}\)

Перекрестно умножая, мы получаем:

\(10.2 \cdot 8 = 15 \cdot MK\)

\(MK = \frac{10.2 \cdot 8}{15}\)

Вычисляя это уравнение, мы получаем:

\(MK = \frac{81.6}{15}\)

\(MK = 5.44\)

Таким образом, длина перпендикуляра МК, опущенного из точки М на диагональ АС прямоугольника ABCD, равна 5.44.

б) Чтобы найти отношение площадей треугольников АDC и АМК, мы должны рассмотреть формулу площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Таким образом, площадь треугольника АDC равна:

\(S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC\)

Площадь треугольника АМК равна:

\(S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MK\)

Теперь мы можем вычислить отношение площадей:

\(\frac{S_{ADC}}{S_{AMK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC}{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot MK}\)

Сокращая выражения, мы получаем:

\(\frac{S_{ADC}}{S_{AMK}} = \frac{AC \cdot DC}{AM \cdot MK}\)

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(\frac{S_{ADC}}{S_{AMK}} = \frac{17 \cdot 8}{10.2 \cdot 5.44}\)

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\(\frac{S_{ADC}}{S_{AMK}} \approx \frac{136}{55.488}\)

\(\frac{S_{ADC}}{S_{AMK}} \approx 2.455\)

Таким образом, отношение площадей треугольников АDC и АМК в прямоугольнике ABCD равно примерно 2.455.