Какова длина образующей конуса, если его объем составляет 100 П см³ и площадь основания равна 25 Псм²?

Для решения данной задачи, нам нужно воспользоваться формулами, связанными с объёмом и площадью основания конуса. Начнём с формулы объёма конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объём конуса, \(\pi\) - число Пи, \(r\) - радиус основания конуса, и \(h\) - высота конуса. Мы уже знаем, что объём конуса составляет 100 П см³, поэтому мы можем записать:

\[100П = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Далее, мы можем использовать формулу площади основания конуса:

\[S = \pi r^2\]

где \(S\) - площадь основания конуса. Мы уже знаем, что площадь основания равна 25 Псм², поэтому мы можем записать:

\[25П = \pi r^2\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(r\) и \(h\). Для решения этой системы уравнений, мы можем разделить первое уравнение на второе:

\[\frac{100П}{25П} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[4 = \frac{\frac{1}{3} \cancel{\pi} r^2 \cancel{h}}{\cancel{\pi} r^2}\]

Упрощая дробь, получаем:

\[4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\cancel{r^2}}{\cancel{r^2}} \cdot h\]

Теперь можно выразить \(h\):

\[h = 4 \cdot \frac{3}{1}\]

Выполняя простое вычисление, получаем:

\[h = 12\]

Таким образом, высота конуса равна 12 сантиметров.

Для того, чтобы найти длину образующей конуса (\(l\)), нам понадобится использовать понятие Пифагоровой теоремы. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом основания и высотой конуса, выполнено следующее соотношение:

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Подставляя значения, получаем:

\[l^2 = r^2 + 12^2\]

Так как мы хотим найти длину образующей (\(l\)), возьмём квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[l = \sqrt{r^2 + 12^2}\]

Используя второе уравнение изначальной системы, где \(r^2 = 25П\), можно получить:

\[l = \sqrt{25П + 12^2}\]

Вычисляем:

\[l = \sqrt{25П + 144}\]

Таким образом, длина образующей конуса составляет \(\sqrt{25П + 144}\) сантиметров.