№1) Постройте изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Запишите и отметьте на чертеже: а) Два вектора

№1) Чтобы построить изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, начнем с построения прямоугольника ABCD на плоскости. Затем, проведем прямые, перпендикулярные плоскости ABCD, из каждой вершины параллелепипеда.

а) Два вектора, равные друг другу, могут быть проведены из вершин A и B параллелепипеда к соответствующим вершинам A1 и B1, так чтобы длины векторов были равны.

б) Два коллинеарных вектора с противоположными направлениями могут быть проведены из вершин C и D параллелепипеда к соответствующим вершинам C1 и D1, так чтобы они направлены в разные стороны, но имели одинаковую длину.

в) Два ортогональных (перпендикулярных) вектора могут быть проведены из вершины A параллелепипеда в вершины C и D, так чтобы они образовывали прямые углы между собой.

г) Три компланарных вектора могут быть проведены из вершины A параллелепипеда к вершинам A1, B1 и C1, так чтобы они все лежали на одной плоскости.

Вот изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с отмеченными на чертеже векторами:

\[ABCDA1B1C1D1\]

На чертеже:
а) \(AB = A_1B_1\)
б) \(CD = -C_1D_1\)
в) \(AC \perp AD\), \(AC \perp AB\)
г) A1, B1 и C1 компланарны

№2) Даны векторы \(a(2;m;-3)\) и \(b(1;-1;5)\). Чтобы определить, существует ли такое значение \(m\), при котором данные векторы коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны.

a) Для двух векторов быть коллинеарными, их координаты должны быть пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{2}{1} = \frac{m}{-1} = \frac{-3}{5}\]

Уравнение первых двух дробей можно записать как \(\frac{2}{1} = \frac{m}{-1}\).

Решая это уравнение, получаем \(m = -2\).

b) Чтобы угол между векторами \(a\) и \(b\) был прямым, их скалярное произведение должно быть равно нулю. То есть:

\[2 \cdot 1 + m \cdot (-1) + (-3) \cdot 5 = 0\]

Решая это уравнение, получаем:

\[2 - m -15 = 0\]
\[-m = 13\]
\[m = -13\]

Таким образом, для б) \(m = -13\).

В результате:

а) Для двух векторов быть коллинеарными, \(m = -2\).
б) Для угла между векторами является прямым, \(m = -13\).