Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника АВС, если высота, опущенная на гипотенузу АС и деление

Давайте попробуем решить эту задачу. При решении задачи опираемся на известный факт, что в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на два отрезка, причем один отрезок является меньшим катетом, а другой - большим катетом.

Пусть высота треугольника АВС делит гипотенузу АС на отрезки АН и НС, где АН - меньший катет, НС - больший катет.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как треугольник АВС - прямоугольный, то мы можем записать:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]
где АН - отрезок, в котором разделилась гипотенуза, CH - проекция высоты на гипотенузу, а НН - высота, опущенная на гипотенузу.

Теперь воспользуемся подобием треугольников АНС и ABC. Так как у данных треугольников прямые углы при точке С сонаправлены, а углы при точке А и при точке Н являются смежными и равными, то треугольники подобны по принципу "углы-при-основании".

Отсюда получаем:
\[\frac{AN}{AB} = \frac{NH}{CB}\]

Далее, используя теорему Пифагора для треугольника АНС, мы можем записать:
\[AN^2 = AH^2 - NH^2\]

Теперь мы можем объединить уравнения, чтобы исключить неизвестные величины. Подставим выражение для AN^2 из второго уравнения в первое уравнение:
\[AC^2 = (AH^2 - NH^2) + CH^2 \]
\[AC^2 = AH^2 + CH^2 - NH^2\]

Известно, что гипотенузу АС делят на отрезки АН и НС. То есть, гипотенуза АС является суммой меньшего катета и большего катета:
\[AC = AN + NH\]
Из этого следует:
\[AN = AC - NH\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2 - (AC - NH)^2\]

Раскрыв скобки, мы получим:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2 - (AC^2 - 2AC \cdot NH + NH^2)\]

Сократим и упростим выражение:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2 - AC^2 + 2AC \cdot NH - NH^2\]
\[2AC \cdot NH = AH^2 + CH^2 - NH^2\]

Отсюда получаем:
\[AC = \frac{AH^2 + CH^2 - NH^2}{2NH}\]

Таким образом, длина меньшего катета АН равна:
\[AN = AC - NH = \frac{AH^2 + CH^2 - NH^2}{2NH} - NH\]