Какова длина медианы треугольника АВС, если известны координаты точек А(1;2), В(2;5) и С(5;4)?

Чтобы найти длину медианы треугольника, мы должны сначала найти координаты точки пересечения медиан треугольника. В этом случае, медианы пересекаются в точке, называемой центром тяжести треугольника, которая обозначается буквой G.

Для начала, найдем координаты точки G. Чтобы найти центр тяжести треугольника, мы можем использовать формулы:
\[x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\]
\[y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\]

Где x_A, y_A, x_B, y_B, x_C, y_C - это координаты точек A, B и C соответственно.

Подставим значения координат точек A(1;2), B(2;5) и C(5;4) в формулу:

\[x_G = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3}\]
\[y_G = \frac{2 + 5 + 4}{3} = \frac{11}{3}\]

Таким образом, мы получили координаты точки G, которая равна G(\(\frac{8}{3}\); \(\frac{11}{3}\)).

Теперь мы можем найти длину медианы треугольника AG. Для этого, мы можем использовать расстояние между двумя точками формулу:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где (x_1, y_1) - координаты точки A(1;2) и (x_2, y_2) - координаты точки G(\(\frac{8}{3}\); \(\frac{11}{3}\)).

Подставим значения и рассчитаем:

\[d = \sqrt{ \left( \frac{8}{3} - 1 \right)^2 + \left( \frac{11}{3} - 2 \right)^2}\]
\[d = \sqrt{ \left( \frac{5}{3} \right)^2 + \left( \frac{5}{3} \right)^2}\]
\[d = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}}\]

Таким образом, длина медианы треугольника AG равна \(\sqrt{\frac{50}{9}}\) или приближенно 2,98.

Пожалуйста, обратите внимание, что все рассчеты были произведены с учетом округления до двух десятичных знаков для лучшей наглядности и понимания.