Какова длина медианы bm и длины биссектрисы в треугольнике с вершинами в точках a(-1; -3); b(-4; 3) и c(5

Чтобы найти длину медианы \(bm\) и длину биссектрисы в треугольнике с вершинами \(a(-1; -3)\), \(b(-4; 3)\) и \(c(5; 2)\), нам понадобится использовать несколько математических формул и понятий.

1. Начнем с нахождения координат вершины \(m\), которая является серединой стороны \(ac\). Для этого сложим координаты вершин \(a\) и \(c\) и разделим полученную сумму на 2. То есть:

\[
m = \left(\frac{{x_a + x_c}}{2}, \frac{{y_a + y_c}}{2}\right)
\]

Подставим значения координат вершин \(a(-1; -3)\) и \(c(5; 2)\) в эту формулу:

\[
m = \left(\frac{{-1 + 5}}{2}, \frac{{-3 + 2}}{2}\right) = \left(2, -\frac{1}{2}\right)
\]

Теперь у нас есть координаты вершины \(m\).

2. Для нахождения длины медианы \(bm\) мы должны найти расстояние между точками \(b\) и \(m\). Используем формулу для расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставим значения координат точек \(b(-4; 3)\) и \(m(2, -\frac{1}{2})\) в эту формулу:

\[
d = \sqrt{{(-4 - 2)^2 + (3 + \frac{1}{2})^2}} = \sqrt{{36 + \frac{49}{4}}} = \sqrt{{\frac{144}{4} + \frac{49}{4}}} = \sqrt{{\frac{193}{4}}}
\]

Таким образом, длина медианы \(bm\) в треугольнике равна \(\sqrt{{\frac{193}{4}}}\).

3. Чтобы найти длину биссектрисы треугольника, нужно знать длины сторон этого треугольника. Для этого воспользуемся формулой для нахождения длин сторон треугольника, которая известна как теорема Пифагора:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты. В нашем случае, сторона \(ac\) является гипотенузой, а стороны \(ab\) и \(bc\) - катетами.

Найдем длины сторон \(ab\) и \(bc\):

\[
ab = \sqrt{{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}}
\]

\[
ab = \sqrt{{(-1 - (-4))^2 + (-3 - 3)^2}} = \sqrt{{(3)^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{9 + 36}} = \sqrt{{45}}
\]

\[
bc = \sqrt{{(x_b - x_c)^2 + (y_b - y_c)^2}}
\]

\[
bc = \sqrt{{(-4 - 5)^2 + (3 - 2)^2}} = \sqrt{{(-9)^2 + (1)^2}} = \sqrt{{81 + 1}} = \sqrt{{82}}
\]

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения длины биссектрисы внутренней точки треугольника:

\[
l = \frac{{2 \cdot \sqrt{{ab \cdot bc \cdot p \cdot (p - ac)}}}}{{ab + bc}}
\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле:

\[
p = \frac{{ab + ac + bc}}{2}
\]

Подставим значения в формулу:

\[
p = \frac{{\sqrt{{45}} + \sqrt{{193/4}} + \sqrt{{82}}}}{2}
\]

\[
l = \frac{{2 \cdot \sqrt{{\sqrt{{45}} \cdot \sqrt{{82}} \cdot \frac{{\sqrt{{45}} + \sqrt{{193/4}} + \sqrt{{82}}}}{2} \cdot \left(\frac{{\sqrt{{45}} + \sqrt{{193/4}} + \sqrt{{82}}}}{2} - \sqrt{{193/4}}\right)}}}}{{\sqrt{{45}} + \sqrt{{82}}}}
\]

Вычислить это выражение можно с помощью калькулятора либо программы для математических вычислений. Ответ будет зависеть от конкретных численных значений, полученных при расчетах.

Таким образом, мы нашли длины медианы \(bm\) и биссектрисы треугольника.