Каков обьем пирамиды PABC, если основание представляет собой прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для вычисления объема пирамиды. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Для начала, рассмотрим основание пирамиды, которое представляет собой прямоугольный треугольник ABC с углом C равным 90 градусов, стороной BC равной 6 см и углом B равным 60 градусов.

По заданным данным, для нахождения площади основания пирамиды, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \]

где \( AB \) - длина стороны треугольника AB.

Поскольку даны два угла треугольника, 90 градусов и 60 градусов, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника, чтобы найти третий угол:

\[ A = 180 - 90 - 60 = 30 \text{ градусов} \]

Теперь, чтобы найти сторону AB, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Используя соотношение для тангенса угла, мы можем записать:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \]

Решая это уравнение относительно \( AB \), мы получим:

\[ AB = BC \cdot \tan(30^\circ) \]

Подставим известные значения:

\[ AB = 6 \cdot \tan(30^\circ) \approx 3 \text{ см} \]

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9 \text{ см}^2 \]

Осталось найти высоту пирамиды, которая является расстоянием от вершины пирамиды до плоскости основания.

Поскольку грань APC перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды равна высоте соответствующего прямоугольного треугольника APC.

Используя соотношение для синуса угла, мы можем записать:

\[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{BC} \]

Решая это уравнение относительно \( h \), мы получим:

\[ h = BC \cdot \sin(45^\circ) \]

Подставим известные значения:

\[ h = 6 \cdot \sin(45^\circ) \approx 4.24 \text{ см} \]

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4.24 \approx 12.16 \text{ см}^3 \]

Таким образом, объем пирамиды PABC равен приблизительно 12.16 кубических сантиметров.