Какова длина хорды, которая стягивает дугу кругового сектора площадью 4 пи квадратных сантиметра, если радиус

Давайте начнём с того, что нам нужно найти длину хорды, которая стягивает дугу кругового сектора. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для нахождения длины хорды в зависимости от радиуса и угла сектора.

Формула для нахождения длины хорды х на плоскости относительно радиуса r и угла α (в радианах) можно записать следующим образом:

\[х = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{{\alpha}}{{2}}\right)\]

В нашем случае, площадь кругового сектора равна 4π квадратных сантиметра, а радиус окружности равен 4 сантиметрам.

Площадь кругового сектора можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot r^2\]

где S - площадь сектора, α - центральный угол сектора в градусах, а r - радиус окружности.

Подставим известные значения:

\[4\pi = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot 4^2\]

Далее, упростим это уравнение:

\[4\pi = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}} \cdot 16\pi\]

Теперь, избавимся от дроби:

\[4 = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}} \cdot 16\]

Упростим:

\[\frac{{4}}{{16}} = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}}\]

\[\frac{{1}}{{4}} = \frac{{\alpha}}{{360^\circ}}\]

Теперь, найдём значение угла α:

\[\alpha = \frac{{1}}{{4}} \cdot 360^\circ\]

\[\alpha = 90^\circ\]

Теперь мы знаем, что угол α равен 90 градусам.

Используя формулу для длины хорды, подставим известные значения:

\[х = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{{90^\circ}}{{2}}\right)\]

Упростим выражение:

\[х = 2 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ)\]

Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\)

\[х = 8 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

\[х = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, длина хорды, которая стягивает дугу кругового сектора площадью 4π квадратных сантиметра, при радиусе окружности 4 сантиметра, равна 4√2 сантиметра.