Какова длина градиента функции z=x^3+(9x^2ln)4 в точке (2:1)?

Для решения данной задачи, нам необходимо сначала вычислить градиент функции. Градиент функции - это вектор, состоящий из ее частных производных по каждой из переменных.

Для данной функции \(z=x^3+(9x^2\ln4)\), вычислим ее частные производные.

Частная производная функции \(z\) по переменной \(x\) будет выглядеть так:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left( x^3+(9x^2\ln4) \right)\]

Чтобы вычислить эту производную, мы применим правило дифференцирования для суммы и произведения функций.

Дифференцируя \(x^3\), мы получим:

\[\frac{{\partial}}{{\partial x}} (x^3) = 3x^2\]

Дифференцируя \(9x^2\ln4\), мы применим правило дифференцирования произведения функций:

\[\frac{{\partial}}{{\partial x}} (9x^2\ln4) = 9 \left(\frac{{d}}{{dx}} (x^2)\right) \ln4 + 9x^2 \left(\frac{{d}}{{dx}} (\ln4)\right)\]

Если мы вычислим эти производные, то получим:

\[\frac{{\partial}}{{\partial x}} (9x^2\ln4) = 18x\ln4 + 9x^2 \cdot 0 = 18x\ln4\]

Теперь, чтобы найти градиент функции, мы объединяем найденные производные:

\(\nabla z = \left( \frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \right) = \left( 3x^2 + 18x\ln4, \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \right)\)

После того, как мы вычислили градиент, мы можем найти его значение в точке \((2, 1)\):

\(\nabla z = \left( 3(2)^2 + 18(2)\ln4, \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \right) = \left( 12 + 36\ln4, \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \right)\)

Таким образом, длина градиента в точке \((2, 1)\) равна:

\[\sqrt{(12 + 36\ln4)^2 + \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)^2}\]