Сколько раз изначально было написано чисел на доске, если после нескольких стираний осталась сумма, равная 24, и сумма

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с каждой частью по очереди.
1) Сколько раз изначально было написано чисел на доске, если после нескольких стираний осталась сумма, равная 24, и сумма стираемых чисел должна быть кратна 5?

Допустим, изначально на доске было \(x\) чисел. После стирания некоторых чисел осталась сумма, равная 24. Мы также знаем, что сумма стираемых чисел должна быть кратна 5.

Предположим, что после стирания чисел на доске осталось \(y\) чисел. Тогда мы можем записать уравнение:

\(x - y = 24\),

где \(x - y\) - число, которое было стерто, а 24 - оставшаяся сумма.

Также, по условию, сумма стираемых чисел должна быть кратна 5. Это означает, что \(x - y\) должно быть кратно 5:

\(x - y = 5k\),

где \(k\) - некоторое целое число.

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} x - y = 24 \\ x - y = 5k \end{cases}\).

Для решения этой системы уравнений найдем значение \(k\), при котором она имеет решение.

Вычтем второе уравнение из первого:

\(24 - 5k = 0\).

Решая это уравнение, найдем значение \(k\):

\(5k = 24\),
\(k = \frac{24}{5} = 4.8\).

Однако по условию \(k\) должно быть целым числом. Так как \(k\) не может быть дробным числом, то такая ситуация невозможна. Значит, нет возможности написать числа на доске, чтобы после нескольких стираний осталась сумма, равная 24, и сумма стираемых чисел была кратна 5.

2) Можно ли на доске так написать числа, чтобы после нескольких стираний осталось ровно два числа, разность между которыми равна 45, и изначально были написаны все натуральные числа от 53 до 158 включительно?

Для ответа на этот вопрос, давайте рассмотрим возможные ситуации.

Всего натуральных чисел от 53 до 158 включительно: \(158 - 53 + 1 = 106\).

После нескольких стираний остается ровно два числа, разность между которыми равна 45.

Допустим, мы стираем числа \(a\) и \(b\), и оставляется число \(c\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\(a + b + c = 106\).

Также, по условию, разность между \(a\) и \(b\) должна быть равна 45:

\(a - b = 45\).

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Подставим \(a = b + 45\) в уравнение \(a + b + c = 106\):

\(b+45 + b + c = 106\),
\(2b + c = 61\).

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} 2b + c = 61 \\ b + 45 + c = 106 \end{cases}\).

Выразим \(c\) через \(b\) из второго уравнения:

\(c = 106 - b - 45\),
\(c = 61 - b\).

Подставим это значение в первое уравнение:

\(2b + 61 - b = 61\),
\(b = 0\).

Таким образом, получаем, что \(b = 0\). Если \(b = 0\), то \(c = 61 - b = 61\). Тогда \(a = b + 45 = 0 + 45 = 45\).

Итак, если стереть число 45 и число 0, оставшимися будут 61.

Из данного анализа видно, что на доске можно так написать числа, чтобы после нескольких стираний осталось ровно два числа, разность между которыми равна 45, и изначально были написаны все натуральные числа от 53 до 158 включительно.