Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что точка касания

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполнено следующее соотношение:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Мы знаем, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, а это значит, что гипотенуза треугольника является диаметром окружности.

Давайте обозначим длину гипотенузы как \(c\), а точку касания гипотенузы с окружностью - как \(D\). Теперь нам дано, что отрезок \(AD\) делит гипотенузу в отношении 2:3. То есть, отношение длины \(AD\) к длине \(DC\) равно 2:3.

Таким образом, мы можем обозначить длины \(AD\) и \(DC\) как \(2x\) и \(3x\) соответственно, где \(x\) - это некоторое значение. Теперь у нас есть две части гипотенузы треугольника.

Теперь, с учетом этой информации, мы можем записать два уравнения, используя теорему Пифагора для каждой из частей гипотенузы треугольника.

Для отрезка \(AD\):
\[c^2 = (2x)^2 + a^2\]

Для отрезка \(DC\):
\[c^2 = (3x)^2 + b^2\]

Поскольку оба выражения равны \(c^2\), мы можем приравнять их:
\[(2x)^2 + a^2 = (3x)^2 + b^2\]

Используя это уравнение, мы можем найти значение \(x\), а затем подставить его в одно из уравнений, чтобы найти длину гипотенузы \(c\).

Давайте выполним несколько шагов для решения этого уравнения.

Раскроем скобки:
\[4x^2 + a^2 = 9x^2 + b^2\]

Перенесем все слагаемые, содержащие \(x\) влево, а все остальные - вправо:
\[4x^2 - 9x^2 = b^2 - a^2\]

Упростим выражения:
\[-5x^2 = b^2 - a^2\]

Теперь выразим \(x^2\) через \(b^2 - a^2\):
\[x^2 = \frac{{b^2 - a^2}}{{-5}}\]

Возьмем квадратные корни от обеих сторон уравнения:
\[x = \pm\sqrt{\frac{{b^2 - a^2}}{{-5}}}\]

Поскольку длины сторон треугольника должны быть положительными числами, мы можем игнорировать отрицательный знак и взять только положительный корень. Теперь мы знаем значение \(x\).

Чтобы найти длину гипотенузы \(c\), мы можем подставить \(x\) в одно из уравнений \(c^2 = (2x)^2 + a^2\) или \(c^2 = (3x)^2 + b^2\) и решить его.

Например, подставим \(x\) в уравнение \(c^2 = (2x)^2 + a^2\):
\[c^2 = (2 \cdot \sqrt{\frac{{b^2 - a^2}}{{-5}}})^2 + a^2\]

Теперь у нас есть уравнение для длины гипотенузы \(c\), которое мы можем решить.

Чтобы получить конечный ответ, примените квадратный корень к обоим сторонам уравнения и найдите значение \(c\):
\[c = \sqrt{(2 \cdot \sqrt{\frac{{b^2 - a^2}}{{-5}}})^2 + a^2}\]

Это и есть искомая длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, при условии, что точка касания гипотенузы делит ее в отношении 2:3.